HJM 漂移條件問題：表明 HJM 漂移條件意味著b(t)≡b,ρ2(t)≡一個b(噸)≡b,ρ2(噸)≡一個b(t) equiv b, rho^{2}(t) equiv a
我需要你的幫助來理解和解決 HJM 框架。我希望我能得到一些幫助，因為我對 HJM 感到很迷茫，並且由於大流行而線上學習增加了更多壓力。無論如何，這是問題所在：
問題
平行移動的 HJM 前向曲線演化的形式為 $$ f(t, T)=h(T-t)+Z(t) $$ $$ \begin{aligned} &\text { for some deterministic initial curve } f(0, T)=h(T) \text { and some Itô process } d Z(t)=\ &b(t) d t+\rho(t) d W^*(t) \text { with } Z(0)=0 \end{aligned} $$
表明 HJM 漂移條件意味著 $ b(t) \equiv b, \rho^{2}(t) \equiv a $ ， 和 $$ h(x)=-\frac{a}{2} x^{2}+b x+c $$ 對於一些常數 $ a \geq 0 $ ， 和 $ b, c \in \mathbb{R} $ .
我的嘗試：
我們取導數 $ f(t,T) $
$$ d f((t, T))=\left(-h^{\prime}(T-t)+b(t)\right) d t+\rho(t) d w^{*}(t) $$
HJM 框架遠期利率的 Q 動態為：
$$ f(t, T)=f(0, T)+\int_{0}^{t}\left(\sigma(s, T) \int_{S}^{T} \sigma(s, u) d u\right) d s+\int_{0}^{t} \sigma(s, T) d u_{t}^{*} $$
$$ d f(t, T)=\sigma(t, T) \int_{t}^{T} \sigma(t, u) d u+\sigma\left(s, T\right) d \omega_{t}^{*} $$
因此 HJM 漂移等於：
$$ d f(t, T)=\rho(t) \int_{t}^{T} \rho(t) d u $$
$$ d f(t, T)=\rho^{2}(t)(T-t) $$
環境 $ x = T- t $ 我們得到：
$ \rho^{2}(t) x=-h(x)+b(t) $ <- 不確定這部分。
取關於的導數 $ x $ 在雙方我們得到：
$$ \rho^{2}(t)=-h^{\prime \prime}(x) $$
環境 $ x = 0 $ 我們有：
$$ \rho^{2}(t)=-h^{\prime \prime}(0)=a $$
現在證明 $$b(t) \equiv b $ , we know $ \rho^{2} = a$ 這是一個常數，因此：
$$ a \cdot x=-h(x)+b(t) $$
環境 $ x = 0 $ ，我們得到： $ b(t)=h(0)=b $ .
我不知道如何展示這部分： $ h(x)=-\frac{a}{2} x^{2}+b x+c $ .
再次修正你的一些錯別字，我們知道在風險中性措施下的 HJM $$ f(t, T)=f(0, T)+\int_0^t\left(\sigma(s, T) \int_s^T \sigma(s, u) ,du\right),ds+\int_0^t \sigma(s,T),dW_t^* $$ 總是成立。這意味著 $$ h(T-t)+\int_0^tb(s),ds=f(0,T)+\int_0^t\left(\sigma(s, T) \int_s^T \sigma(s, u) ,du\right),ds,. $$ 取導數 $ t $ 給 $$ -h’(T-t)+b(t)=\sigma(t,T)\int_t^T\sigma(t,u),du,. $$ 使用 $ \sigma(t,T)=\rho(t) $ 給 $$ -h’(T-t)+b(t)=\rho^2(t),(T-t),. $$ 寫作 $ x=T-t $ 給 $$ -h’(x)+b(t)=\rho^2(t),x,,\quad\quad x,t\ge 0,.\quad\quad\quad(1) $$ 這意味著兩個身份： $$ h(x)=-\rho^2(t)\frac{x^2}{2}+b(t),x+c,, $$ 和 $$ -h’’(x)=\rho^2(t),. $$ 它遵循 $ \rho $ 不能依賴 $ t $ （必須是常數）。從（1）現在還得出 $ b $ 必須是恆定的。