Ho-Lee 模型 - A 和 B 推導磷(,T_)=和-A(t,T)−B(t,T)r噸磷(噸,噸)=和−一個(噸,噸)−乙(噸,噸)r噸P(t,T)=e^{-A(t,T)-B(t,T)r_t}
我正在分析仿射模型中債券價格的轉變，形式為 $ P(t,T)=e^{-A(t,T)-B(t,T)r_t} $
使用仿射模型的擴散和漂移可以表示為的性質
$$ b(t,r)=b(t)+\beta(t)r_t \quad \quad (1) $$ $$ \sigma^2(t,r)=a(t)+\alpha(t)r_t \quad \quad (2) $$ 其中 A 和 B 滿足以下常微分方程組
$$ \partial_t A(t,T) = \frac{1}{2} \ a(t) \ B^2(t,T) - b(t) \ B(t,T), \quad A(T,T)=0 \quad \quad (3) $$ $$ \partial_t B(t,T) = \frac{1}{2} \ \alpha(t) \ B^2(t,T) - \beta(t) \ B(t,T) -1 , \quad B(T,T)=0 \quad \quad (4) $$ 我試圖為Ho-Lee 模型推導出債券價格 P(t,T)。 $ dr_t=\mu t dt + \sigma dW_t^* $
我的理解是 $ b=\mu t, \ \beta=0, \ a=\sigma^2, \alpha=0 $ 將是 eq (3) 和 (4) 的參數，它給出
$$ \partial A(t,T) = \frac{\sigma^2}{2} B^2(t,T) - \mu t \ B(t,T) \quad \quad (5) $$ $$ \partial B(t,T) = -1 \quad \quad (6) $$ 而且它應該產生 $$ B(t,T)=T-t \quad \quad (7) $$ 最後一步我不清楚。
**我的問題
1）為什麼用 Tt 代替，而不是 t 或 T
2）為什麼要集成 $ \partial B=-1 $ 結果是（Tt）而不是-（Tt）？整合一個函式 f’(x)=-1 應該得到 f(x)=-x，不是嗎？**
$$ A(t,T)=\frac{-\sigma^2}{6}(T-t)^3 + \int_t^T b(s)(T-s)ds \quad \quad (8) $$ 給出最終方程$$ P(t,T)=exp \ \big{(}\frac{-\sigma}{6}(T-t)^3 -\frac{\mu}{6} T^3 + \frac{1}{2} \mu T t^2 -\frac{1}{3} \mu t^3 - (T-t)r_t \big{)} \quad \quad (9) $$ **問題3）
如何積分 $ \int_t^T b(s)(T-s)ds $ 給 $ \frac{\mu}{6} T^3 - \frac{1}{2} \mu T t^2 + \frac{1}{3} \mu t^3 $ . 我不能在這裡得到代數。這是一個普通的積分嗎？**
從等式（6）， $ B(t,T)=-t+c(T) $ 對於某些功能 $ c(T) $ . $ 1=P(t,t)=e^{-A(t,t)-(c(t)-t)r_t} $ 或者 $ A(t,t)+(c(t)-t)r_t=0,,\forall (r_t,t) $ . 所以 $ c(t)=t, A(t,t)=0,\forall t $ .
對於等式 (8)，您錯過了 $ \sigma $ 和一個因素 $ \frac13 $ . 然後你只需要在函式中替換為 $ b(s) $ 並整合以下內容以獲得正確的結果。
$$ A(t,T) = -\frac{\sigma^2}{2}\int_t^T(T-s)^2ds +\mu\int_t^T s(T-s)ds. $$