Heath-Jarrow-Morton框架下的Ho-Lee短期利率模型
在 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 框架下，Ho-Lee 短期利率模型的動力學定義如下：$$ dr(t)=\theta(t)dt+\sigma dW^{\mathbb{Q}}(t) $$和 $ \mathbb{Q} $ 風險中性度量（不是現實世界）。假設瞬時遠期利率（以及短期利率）波動，模型的漂移 $ \theta(t) $ 定義如下：$$ \theta(t)=\frac{\partial}{\partial t}f(0,t)+\sigma t^2 $$和 $ f(0,t) $ 基於市場數據的瞬時遠期匯率，例如：$$ f(0,t)=-\frac{\partial}{\partial t}\log P(0,t) $$和 $ P(0,t) $ 零息債券形式的市場數據。這種設置與我發現的所有文獻一致。市場數據由下式給出 $ P_{market}=e^{-0.03t^{2}-0.15t} $ 並為所有人 $ 0\leq t\leq T $ 使用蒙特卡羅模擬應滿足以下等式 $ P_{model} $ :$$ P_{model}(0,t)=\mathbb{E^{Q}}[e^{-\int^{t}{0}r(s)ds}|\mathcal{F}{0}]=P_{market}(0,t) $$實施後，我發現這個等式不適用於這個特定的市場數據。然而，忽略了 $ 0.15t $ 術語確實讓 $ P_{model} $ 收斂到 $ P_{market} $ 對於足夠小的 $ \sigma $ . 我認為這樣做的原因是為了計算參數：$$ \theta(t)=\frac{\partial}{\partial t}(-\frac{\partial}{\partial t}\log P_{market}(0,t))+\sigma^{2}t=0.06+\sigma^{2}t $$我們扔掉 $ 0.15t $ 期限和有關市場數據的資訊失去。
何利短期利率模型的設置對這種市場數據有用嗎 $ P_{market}=e^{-0.03t^{2}-0.15t} $ ? 我的設置是否錯誤（請記住，當忽略 $ 0.15t $ 等式成立）？
如果您模擬，問題應該會消失 $ r_t $ . Ho Lee 應該為您假設的形式的功能工作：
$ P(0,T)=e^{-aT^2-bT}=e^{-(aT+b)T} $
您的模擬的問題在於，您正確得出的遠期匯率如下：
$ f(0,T)=2aT+b $
所以當你取導數來計算 $ \theta $ ，你輸了 b。但請記住，何李下的短期利率動態涉及積分 $ \theta_t $
$ r_{t}=r_{0} + \int_{0}^{t}{\theta_{u} du} + \sigma\int_{0}^{t}{d w_{u}} $
當您評估積分時，您需要確定積分常數。如果您正確設置條件，它將是 b (0.15)。
但如果你直接模擬短期利率，這個問題就消失了。您將避免失去 b 然後通過積分常數恢復它的問題。