Ho & Lee 收益率曲線擬合零息債券市場價格
SDE 給出了 Ho & Lee 利率模型： $$ \mathrm d r = \eta(t) \mathrm d t + c,\mathrm d X $$ 校準功能為 $ \eta(t) $ 是（誰）給的 $$ \eta^(t)=c^2(t-t^)-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\operatorname{log}(Z_M(t^;t)) $$ 在哪裡 $ Z_M(t^, t) $ 是從今天開始市場的折扣因子 $ = t^* $ 到成熟 $ t $ （來源：Paul Wilmott on Quantitative Finance，第 526 頁）。
期限 $ \frac{\partial^2}{\partial t^2}\operatorname{log}(Z_M(t^*;t)) $ 讓我困惑。
我有一組折扣因子 $ Z_M $ ，它們是數字（例如 $ Z_M(0;,0.5)=0.99750, Z_M(0;,1)=0.989060) $ .
所以 $ \operatorname{log}Z_M $ 也是一個數字。
如何計算偏導數 $ \frac{\partial^2}{\partial t^2}\operatorname{log}(Z_M(t^*;t)) $ 一個數字？
編輯：我目前的理解是我必須使用一些使用折扣因子作為支持點的兩次可微分的插值方法（例如樣條插值）。這是正確的嗎？
當微分分析中沒有可用的函式形式時，應該使用計算方法。正如 Daneel 評論的那樣，可以使用有限差分來獲得二階導數的常見計算近似值。
例如，如果我們假設您可用於折扣因子的積分 $ Z_M $ 等距有間隙 $ \Delta t $ 然後通過二階中心有限差分法得到以下近似值：
$ \eta^*(t) = c^2(t) - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\log(Z_M(0;t)) $
$ \approx c^2(t) - \frac{\log(Z_M(0;t+\Delta t))-2\log(Z_M(0;t))+\log(Z_M(0;t-\Delta t))}{(\Delta t)^2} $
我不會先擬合插值，然後再區分，因為我沒有看到在實踐中使用過。我會評估哪種有限差分方法最合適並使用它。