我們如何確定“正確的度量”？
我經常遇到這樣一種說法，即產品的“正確衡量標準”是這樣或那樣的衡量標準。例如，
- 歐洲美元期貨或股票收益 - 風險中性衡量
- Libor 遠期利率 - T 遠期測量
- 拖欠的 Libor - T-1-forward 措施等。
- Swaption - 年金措施
對此的解釋是，在該度量下，收益是鞅。但我不明白這裡的邏輯——我們是否 基於一些合理的理由對鞅屬性做出*假設？*如何為產品找到合適的衡量標準？
回想一下，任何交易資產除以計價方式都是與該計價方式相關的度量下的鞅。對於您提到的 3 個利率，自然度量（即使這些過程為鞅的那個）是從利率的結構中推導出來的。
永遠記住，價值在 $ t_0 $ 現金流量 $ C $ 支付於 $ T $ 等於風險中性測度下貼現現金流的條件期望 $ \mathcal{Q} $ : $$ C(t_0)=E_{t_0}^\mathcal{Q}\left(\frac{B_{t_0}}{B_T}C(T)\right) $$ 在哪裡 $ B_t $ 是貨幣市場賬戶： $ B_t=e^{rt} $ ，即風險中性措施下的計價。因此，您注意到： $$ D(t_0,T)=\frac{B_{t_0}}{B_T} $$ 在哪裡 $ D(t_0,T) $ 是來自的折扣因子 $ t_0 $ 至 $ T $ . Geman、El Karoui 和 Rochet 在
$$ 1 $$確定措施之間的以下等效性： $$ E_{t_0}^\mathcal{Q}\left(\frac{B_{t_0}}{B_T}C(T)\right) =E_{t_0}^\mathcal{N}\left(\xi(t_0,T)\frac{B_{t_0}}{B_T}C(T)\right) =E_{t_0}^\mathcal{N}\left(\frac{N_{t_0}}{N_T}C(T)\right) $$ 在哪裡 $ N_t $ 是另一種可以用作計價的資產， $ \mathcal{N} $ 其相關措施，以及 $ \xi(t_0,T) $ 相關的 Radon-Nikodym 導數從一種度量變為另一種度量： $$ \xi(t_0,T)=\frac{B_TN_{t_0}}{B_{t_0}N_T} $$ 遠期 LIBOR 利率：您可能知道遠期 LIBOR 利率等於： $$ L(t,T,T+\delta)=\frac{1}{\delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\delta)}-1\right) $$ 在哪裡 $ P(t,T) $ 是一種到期的零息債券 $ T $ . 現在，這樣的產品是一種交易資產，價格嚴格為正，沒有股息，因此可以用作計價器。因此根據 $ T+\delta $ 衡量 LIBOR 利率是鞅： $$ \begin{align} E_{t_0}^{T+\delta}\left(L(t,T,T+\delta)\right) &=E_{t_0}^{T+\delta}\left(\frac{1}{\delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\delta)}-1\right)\right) \ &=\frac{1}{\delta}\left(E_{t_0}^{T+\delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\delta)}\right)-1\right) \ &=\frac{1}{\delta}\left(\frac{P(t_0,T)}{P(t_0,T+\delta)}-1\right) \[7pt] &=L(t_0,T,T+\delta) \end{align} $$
LIBOR 拖欠：在這種情況下，您的付款為 $ T $ 該期間的倫敦銀行同業拆借利率 $ [T,T+\delta] $ . 沒有任何衡量標準可以證明拖欠的 LIBOR 是純鞅。此流的值為： $$ \begin{align} E_{t_0}^\mathcal{Q}\left(\frac{B_{t_0}}{B_T}L(T,T,T+\delta)\right) &=P(t_0,T)E_{t_0}^T\left(L(T,T,T+\delta)\right) \ &=P(t_0,T+\delta)E_{t_0}^{T+\delta}\left(\frac{L(T,T,T+\delta)}{P(T,T+\delta)}\right) \[4pt] &=P(t_0,T+\delta)\left(L(t_0,T,T+\delta)+\delta E_{t_0}^{T+\delta}\left( L(T,T,T+\delta)^2\right)\right) \end{align} $$ 術語在哪裡 $ \delta E_{t_0}^{T+\delta}(L(T,T,T+\delta)^2) $ 是凸度調整。
掉期利率：掉期利率的值 $ S(t_0) $ 有時 $ t_0 $ 是通過將互換的兩條腿的值設置為相等而得出的 $ t_0 $ ，即： $$ \sum_{i=1}^n\delta_i^SS(t_0)P(t_0,t_i)=\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t_0,t_{i-1},t_i)P(t_0,t_i) $$ 重新排列： $$ S(t_0)=\frac{\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t_0,t_{i-1},t_i)P(t_0,t_i)}{A^S(t_0,t_n)} $$ 掉期年金在哪裡 $ A(t_0,t_n) $ 定義為： $$ A^S(t_0,t_n)=\sum_{i=1}^n\delta_i^SP(t_0,t_i) $$ 年金是零息債券（交易資產）的投資組合，因此可以用作計價方式。因此，您會看到，在措施下 $ \mathcal{A} $ 與年金相關，掉期利率將是一個與遠期 LIBOR 利率類似的參數的鞅： $$ \begin{align} E_{t_0}^\mathcal{A}\left(S(t)\right) &=E_{t_0}^\mathcal{A}\left(\frac{\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t,t_{i-1},t_i)P(t,t_i)}{A^S(t,t_n)}\right) \ &=\frac{\sum_{j=1}^m\delta_j^LL(t_0,t_{i-1},t_i)P(t_0,t_i)}{A^S(t_0,t_n)} \[7pt] &=S(t_0) \end{align} $$
遠期 LIBOR 和掉期利率案例清楚地表明，適當的鞅度量取決於所考慮產品的結構。
另請注意，掉期期權等產品是根據 Bachelier/Black 隱含波動率報價的，即掉期期權以與其市場價格對應的隱含波動率報價。這種隱含波動率是通過數值方法反轉 Bachelier/Black 公式獲得的。現在，這些公式假設基礎市場因素（即掉期利率）在定價測度下是鞅，因此術語“自然測度”：它是市場報價慣例所隱含的測度。
參考
$$ 1 $$Geman, H., El Karoui, N., Rochet, JC (1995)。“Numéraire 的變化、機率測度的變化和期權定價”，應用機率雜誌，卷。32，第 443-458 頁。