如何在 Q 和隨機利率下為股票定價？
我有興趣在以下情況下定價股票 $ \mathbb{Q} $ 當我假設
$$ dS(t) = \mu(S(t))dt + \sigma(S(t))dW(t) $$ 在哪裡 $ W(t) $ 是一個維納過程 $ \mathbb{P} $ 和
$$ dr(t) = a(b-r(t))dt + \sigma(r(t))dZ(t) $$ 在哪裡 $ Z(t) $ 是一個維納過程 $ \mathbb{P} $ . 所以我對利率和股票價格有真實的觀察，並想用它們來為股票定價 $ \mathbb{Q} $ . 我在其中一篇論文中發現股票價格的微分方程如下所示：
$$ dS(t) = r(t)dt + \sigma(S(t))dB(t) $$ 和
$$ dr(t) = a(b-r(t))dt + \sigma(r(t))dZ(t), $$ 在哪裡 $ B(t) $ 是一個維納過程 $ \mathbb{Q} $ . 但我不明白，為什麼利率的維納過程與下面的相同 $ \mathbb{P} $ . 這是否意味著如果我想給股票定價 $ \mathbb{Q} $ 如果我的利率定價低於 $ \mathbb{Q} $ 或不？這是否意味著如果我的股票價格低於 $ \mathbb{Q} $ 與現實世界的利率，它是鞅，它是風險中性的嗎？請你幫助我好嗎？
謝謝！
您提到的隨機利率下的股票指數年金估值論文附錄 A 中的推導是錯誤的：Girsanov 變換應用於 $ n $ 維布朗運動，其中分量是獨立的。但是，對於這裡的情況 $ n=2 $ ，布朗運動是相關的，我們不能天真地將它們組合在一起形成二維布朗運動，然後應用 Girsanov 變換。
對於您的情況，我們假設，在現實世界的機率測度下 $ \mathbb{P} $ ,
$$ \begin{align*} dS(t) &= \mu(S(t)) dt + \sigma(S(t)) dW(t)\ dr(t) &= a(b-r(t)) dt + \sigma(r(t)) dZ(t),\ \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W(t), t \ge0} $ 和 $ {Z(t), t \ge0} $ 是兩個具有瞬時相關性的標準布朗運動 $ \rho $ . 基於 Cholesky 分解，我們可以將上述動力學重寫為 $$ \begin{align*} dS(t) &= \mu(S(t)) dt + \sigma(S(t)) dW(t)\ dr(t) &= a(b-r(t)) dt + \sigma(r(t)) d\big(\rho W(t) + \sqrt{1-\rho^2} B(t)\big), \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W(t), t \ge0} $ 和 $ {B(t), t \ge0} $ 是兩個獨立的標準布朗運動。 獲得風險中性機率測度下的動態 $ \mathbb{Q} $ ， 讓
$$ \begin{align*} \lambda(t) = \frac{r(t) - \mu(S(t))}{\sigma(S(t))}. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\big|_t = \exp\left(-\frac{1}{2} \int_0^t \lambda^2(s)ds + \int_0^t \lambda(s)dW_s \right). \end{align*} $$ 此外，根據該措施 $ \mathbb{Q} $ , $$ \begin{align*} \widehat{W}(t) &= W(t) - \int_0^t \lambda(s)ds, \mbox{ and}\ \widehat{B}(t) &= B(t), \end{align*} $$ 是兩個獨立的標準布朗運動。最後， $$ \begin{align*} dS(t) &= r(t) dt + \sigma(S(t)) d\widehat{W}(t)\ dr(t) &= \big[a(b-r(t)) + \rho \lambda(t) \sigma(r(t)) \big]dt + \sigma(r(t)) d\big(\rho \widehat{W}(t) + \sqrt{1-\rho^2} \widehat{B}(t)\big). \end{align*} $$ 注意額外的術語 $ \rho \lambda(t) \sigma(r(t)) $ 在風險中性措施下的這種動態中 $ \mathbb{Q} $ .
如果您對股票的現貨價格進行建模，那麼它只是現貨價格（還有什麼更準確的？）。
如果您對股票的遠期價格進行建模，那麼您很可能想要應用持有成本（以避免套利）。如果您的現貨沒有紅利，那麼時間的遠期價格 $ T $ 是
$$ F_T = S_0 rT $$ 在哪裡 $ r $ 是適用於您分析的時間段的比率。 如果您有一些利率模型，那麼這應該在同一時期給出相同的因子（如果它被校準到利率）。因此它應該給出相同的值。
順便說一句：你看的是短期模型。連續空頭利率不存在 - 它不能自行交易。只是類似的對象
$$ E_Q[\exp(\int_0^T r_u du)] $$ 可以交易（FRA）。所以通常 SDE 為 $ r_t $ 短期利率低於 Q。在 Q 之下，股票價格以無風險利率增長。