T-forward測度下如何證明遠期利率的穩健性
讓 $ P(t,T)=\mathbb{E}{Q{R}}[e^{\int^{T}{t}r(u)du}|\mathcal{F}{t}] $ 是到期的 1 歐元零息債券的價格 $ T $ 和 $ r(u) $ 利率過程。考慮遠期利率 $ \frac{-\partial \log P(t,T)}{\partial T} $ . 如何證明前鋒是鞅 $ Q_{T} $ ? $ Q_{T} $ 是 T 前向測量 $ P(t,T) $ 作為計價器。
這感覺像是一個非常基本的問題，但是我真的在網際網路上找不到任何證據。
對於瞬時轉發，請參閱本說明的最後一頁：Fabrice Douglas Rouah 的 T-Forward Measure ( http://www.frouah.com/finance%20notes/The%20T-Forward%20Measure.pdf )。
對於簡單遠期，你知道零息票價格和簡單遠期的關係：
$ \frac{P \left(t,T_{n}\right)}{P \left(t,T_{n+1}\right) }=1+\tau F \left(t,T_n \right) $
您可以重新排列以獲得：
$ F \left(t,T_n \right)P \left(t,T_{n+1}\right) = \frac{1}{\tau} \left(P \left(t,T_{n}\right)-P \left(t,T_{n+1}\right)\right) $
所以左邊是資產的價格，因為它是兩種債券價格的差除以時間分數（應計因素）。如果你使用 $ P \left(t,T_{n+1} \right) $ 作為一個計價器，那麼您可以從一般估值公式中得到：
$ \frac{F \left(t,T_n \right)P \left(t,T_{n+1}\right)}{P \left(t,T_{n+1}\right)}=E^{T} \left[ \left. \frac{F \left(S,T_n \right)P \left(S,T_{n+1}\right)}{P \left(S,T_{n+1}\right)} \right| \mathcal{F}_t\right] $
簡單的代數給出：
$ F \left(t,T_n \right)=E^{T} \left[ \left. F \left(S,T_n \right)\right| \mathcal{F}_t\right] $