如何證明指數 Vasicek 模型不是仿射期限結構模型？
從定價公式中，我們知道當時的價值 $ t\in [0,T] $ 到期的零息債券 $ T $ 是
$$ B(t,T)=E\left(\exp{\left(-\int_{t}^{T}r_sds\right)}\bigg|\mathcal{F}_t\right). $$ 此外，我們說 $ B(t,T) $ 具有仿射期限結構，如果 $$ B(t,T)=\exp{\left(A(t,T)-C(t,T)r_t\right)};;\ \text{for} ;;\ t\in[0,T], $$ 在哪裡 $ A $ 和 $ C $ 是確定性函式。 我的問題如下：
對於由下式定義的指數 Vascek 模型
$$ r_t=\exp{(X_t)};;\ \text{with};;\ dX_t=k(\theta-X_t)dt+\sigma dW_t, $$ 其中k， $ \theta $ , $ \sigma>0 $ 和 $ W $ 是風險中性測度下的布朗運動。 如何證明該模型不是仿射期限結構模型？
這是開放域中所有參數的一般證明。
$$ dr = adt+bdW:=r\big(k(\theta-x)+\frac12\sigma^2\big)dt+\sigma rdW. $$ 讓 $$ u(r(s),s):=e^{-\int_t^sr}B(r(s),s,T)=:\phi(s) B. $$ 然後 $$ u(r(t),t)=\mathbf E\big[u(r(s),s)\big|r(t)\big],, \forall t<s. \tag{1} $$ 所以，根據伊藤引理， $$ \begin{align} du(r(s),s) &= Bd\phi +\phi dB \ &= \phi \bigg(-rB+\frac{\partial B}{\partial s}ds+\frac{\partial B}{\partial r}dr+\frac12\frac{\partial^2 B}{\partial r^2}(dr)^2\bigg) \ &= \phi \bigg[\bigg(-rB+\frac{\partial B}{\partial s}+\frac{\partial B}{\partial r}a+\frac12\frac{\partial^2 B}{\partial r^2}b^2\bigg)ds+\frac{\partial B}{\partial r}bdW\bigg] \ &=: \phi,(fds+gdW_s). \end{align} $$ 我們從方程式中看到。(1) $ \mathbf E\big[u(r(s),s)\big|r(t)\big] $ 是恆定的 $ s $ . 所以 $$ 0=\frac{d\mathbf E\big[u(r(s),s)\big|r(t)\big]}{ds}\bigg|_{s=t}=f(r(t),t) \tag{2} $$ 由等式（1）。
認為 $ B $ 是仿射的。代入 $ \frac{f}{B} $ 的仿射表達式 $ B(r,t,T) $ 和表達 $ a $ 和 $ b $ ，我們有等式（2） $$ A’-\Big(C’+\Big(k\theta+\frac{\sigma^2}2\Big)C-1\Big)e^{X_t}+kCX_te^{X_t}+\frac{(\sigma C)^2}{2}e^{2X_t}=0,\quad\forall X_t\in R, $$ 在哪裡 $ ’ $ 表示偏導關於 $ t $ （表示第一個變數）。通過取導數關於 $ X_t $ 或泰勒展開 $ e^{X_t} $ ， 我們看 $ (1,e^{X_t},X_te^{X_t},e^{2X_t}) $ 是線性獨立的。因此，這些術語前面的所有因素都消失了。這只有在 $ k=\sigma=0,,C(t,s)=s-t $ 和 $ A(t,s)=0 $ .