利率
如果短期利率r(t)r(噸)r(t)r(t)不決定債券價格磷(,T_)磷(噸,噸)P(t,T)P(t, T)，那麼短期利率模型的基礎是什麼？
問題標題說明了一切：我們知道，一般來說，指定短期利率 $ r(t) $ 未指定債券價格 $ P(t, T) $ . 那麼，短期利率模型（例如 Vasicek 模型）如何強大到足以為利率衍生品定價呢？
讓 $ r(s) $ 是短期利率的過程。然後，通過風險中性定價，
[數學處理錯誤]$$ P(t,T) = \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[ \exp\left( -\int_t^T r(s)\mathrm{d}s\right) \Bigg| \mathcal{F}_t\right]. $$ 因此，零息債券完全由短期利率過程確定。這裡， $ P(t,T) $ 表示在時間[數學處理誤差]到期的零息債券的時間[數學處理誤差]價格。您只需對折現收益進行風險中性預期即可。回報是世界上幾乎所有國家的[數學處理錯誤] $ t $ $ T $ $ 1 $ $ \omega\in\Omega $ （假設沒有違約風險）。因此，債券的價格是貼現因子的條件期望。風險中性措施 $ \mathbb{Q} $ 使用銀行賬戶 $ (B_t) $ 以 $ \mathrm{d}B_t=r(t)B_t\mathrm{d}t $ . 短期利率模型（例如 Vasicek、Hull-White、CIR 等）為 $ r(s) $ ，通常是（可能是多維的）SDE，然後，您可以找到（有時是分析的）債券、債券期權、掉期期權等的價格。
最簡單的情況是確定性和恆定的短期利率 $ r(s)\equiv r $ . 然後，
$$ P(t,T)=e^{-r(T-t)} $$ 顯然是短期利率 $ r $ 給你債券價格。