久期真的是價格-收益曲線的斜率嗎？
在查看固定利率工具的價格與收益圖時，我們經常被告知久期是該曲線的斜率。但這真的對嗎？
久期是（價格變化）除以（價格乘以收益率變化）。這幾乎不是曲線的斜率，即（價格變化）除以（收益率變化）。收益率以百分比表示，這使得它看起來是相對的，但從 1% 到 2% 是 100% 的相對增長，因為它只是絕對值的 1% 增長。
附加的價格因素不是恆定的，因此斜率和持續時間因不同價格的不同比率而不同！？
麥考利久期衡量債券價格對利率變化的敏感程度。久期與債券價格與到期收益率的曲線的斜率相關但不同。價格收益率曲線的斜率為 $ -\frac{D}{1+r}P, $ 在哪裡 $ D $ 是麥考利持續時間， $ P $ 是債券價格，並且 $ r $ 是產量。
以下是持續時間的定義是如何產生的。讓我們擴大債券的價格， $ P $ ，就到期收益率而言， $ r $ ，使用泰勒定理：
$$ \Delta P=P(r+\Delta r)-P(r)\approx\frac{\partial P(r)}{\partial r}\Delta r+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(r)}{\partial r^2}(\Delta r)^2. $$ 自從 $$ P(r)=\sum_{t=1}^{T}\frac{C_t}{(1+r)^t}, $$ 在哪裡 $ C_t $ 是現金流量，我們有 $$ \Delta P\approx -\frac{\Delta r}{1+r}\sum_{t=1}^{T}\frac{t\ C_t}{(1+r)^t}+\frac{(\Delta r)^2}{2(1+r)^2}\sum_{t=1}^{T}\frac{t(t+1)C_t}{(1+r)^t}, $$ 並將兩邊除以 $ P $ ，我們得到表達式 $$ \frac{\Delta P}{P}\approx -\frac{D}{1+r}\Delta r+\frac{\mathcal C}{2}(\Delta r)^2. $$ 這裡 $$ D=\frac{1}{P} \sum_{t=1}^{T}\frac{t\ C_t}{(1+r)^t} $$ 是麥考利持續時間，並且 $$ \mathcal C= \frac{1}{P(1+r)^2}\sum_{t=1}^{T}\frac{t(t+1)C_t}{(1+r)^t} $$ 是債券價格與到期收益率曲線圖中曲率或凸度的量度。