利率
Cox-Ingerson-Ross 模型的 Riccatti 方程
（我的問題）
我進行了一半的計算，但我不知道如何計算以下 Riccatti 方程。請告訴我如何計算這個 Riccatti 方程及其計算過程。如果您有其他解決方案，請告訴我。
- 如果 B(s) 滿足以下 ODE（Riccatti 方程），
$$ \begin{eqnarray} B’(s) + \beta B(s) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(s)^2 =1 \end{eqnarray} $$
- 答案必須在下面。（請展示計算過程。）
$$ \begin{eqnarray} B(s)= \frac{ 2 \left( \exp(\gamma s) -1 \right) }{2\gamma +(\beta +\gamma)\left( \exp(\gamma s) -1 \right) } \qquad \mbox{with} \ \mbox{ $\gamma=\sqrt{ \beta^2+2\sigma^2}$} \end{eqnarray} $$
（提前謝謝你的幫助。）
（交叉連結）
（原始問題）
(1) 寫出函式的債券定價偏微分方程 $$ \begin{eqnarray} P(t, T) = E^{ \mathbb{Q} } \left[ \exp \left( - \int^T_t r_s ds \right) \middle| r_t=x \right] \end{eqnarray} $$ (2) 並證明萬一 $ \alpha =0 $ 對應的綁定價格 $ P(t, T) $ 等於 $$ \begin{eqnarray} P(t, T) = \exp \left( - B(T-t) r_s \right) \end{eqnarray} $$ 在哪裡 $ t \in [0, T] $ 和 $$ \begin{eqnarray} B(x)= \frac{ 2 \left( \exp(\gamma x) -1 \right) }{2\gamma +(\beta +\gamma)\left( \exp(\gamma x) -1 \right) } \end{eqnarray} $$ 和 $ \gamma=\sqrt{ \beta^2+2\sigma^2} $ .
(1) 我的回答
- 由於 Cox-Ingerson-Ross 模型具有以下 SDE，其對應的 PDE（即債券定價 PDE）通過 Feynman-Kac 定理（或通過練習 4.1.(1)）得出以下方程。此外，終端條件是 $ F(T, x)=1 $ . $$ \begin{eqnarray} dr_t= (\alpha - \beta r_t ) dt + \sigma \sqrt{r_t} dB_t \end{eqnarray} $$
- 模擬短期利率過程的變化 $ r_t $ ， 在哪裡 $ \alpha, \beta, \sigma $ 和 $ r_0 $ 是正參數。當模型是 Ho-Lee 模型時， $ dr_t = \theta dt + \sigma dB_t $ ，其 PDE 如下。 $$ \begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) + \theta \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 \partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) =0 \end{eqnarray} $$
- 那麼 Cox-Ingerson-Ross 模型具有以下 PDE $$ \begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) + (\alpha - \beta x ) \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x\partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) =0 \end{eqnarray} $$
- 什麼時候 $ \alpha=0 $ , $ dr_t= - \beta r_t dt + \sigma \sqrt{r_t} dB_t $ ，它來到下面。 $$ \begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) - \beta x \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x\partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) =0 \end{eqnarray} $$
- 在這裡，如果 SDE 是廣義仿射模型，則如下 $$ \begin{eqnarray} dr_t= \left( \eta_t + \lambda_t r_t \right) dt + \sqrt{ \delta_t + \gamma_t r_t} dB_t \end{eqnarray} $$
- 廣義仿射模型的 SDE產生如下形式的債券定價公式： $$ \begin{eqnarray} P(t, T) = \exp \left( A(T-t) +C(T-t)r_t\right) \end{eqnarray} $$
- 比較有條件債券定價公式， $ P(t, T) = \exp \left( - B(T-t) r_s \right) $ ，對上式，一到下。 $$ \begin{eqnarray} && A(T-t)=0 \ &&C(T-t)r_t = - B(T-t) r_s \end{eqnarray} $$
- 讓 $ F(t, x)=\exp \left( - B(T-t) x \right) $ . $$ \begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) &=& B’(T-t) x F(t, x) \ \partial_x F(t, x) &=& -B(T-t) F(t, x) \ \partial_{xx} F(t, x) &=&B(T-t)^2 F(t, x) \end{eqnarray} $$
- PDE 如下。 $$ \begin{eqnarray} &&\partial_t F(t, x) - \beta x \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x\partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) \ &&\qquad \qquad = B’(T-t) x F(t, x) - \beta x (-B(T-t) F(t, x)) \nonumber \ && \qquad \qquad\qquad + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 F(t, x) -xF(t, x)\ && \qquad \qquad = B’(T-t) x F(t, x) + \beta x B(T-t) F(t, x) \nonumber \ && \qquad \qquad\qquad + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 F(t, x) -xF(t, x)\ && \qquad \qquad\qquad =0 \end{eqnarray} $$
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(2) 我的回答
- 自從 $ F(t, x) \neq 0 $ 和 $ x \neq 0 $ ，上式如下。 $$ \begin{eqnarray} && B’(T-t) x F(t, x) + \beta x B(T-t) F(t, x) \nonumber \ && \qquad\qquad \qquad\qquad + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 F(t, x) -xF(t, x)\ && \qquad \qquad = B’(T-t) x + \beta x B(T-t) + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 -x \ && \qquad \qquad = B’(T-t) + \beta B(T-t) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(T-t)^2 -1 \ &&\qquad \qquad =0 \end{eqnarray} $$
- 讓 $ T-t=s $ , 一達到以下等式。 $$ \begin{eqnarray} B’(s) + \beta B(s) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(s)^2 =1 \end{eqnarray} $$
- 人們發現它是 Riccatti 方程，因為 $ A(s)=0 $ .
（提前謝謝你的幫助。）
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我自己解決了。以下是這個解決方案。
- 讓 $ T-t=s $ , 一達到以下等式。 $$ \begin{eqnarray} B’(s) + \beta B(s) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(s)^2 =1 \end{eqnarray} $$
- 人們發現它是 Riccatti 方程，因為 $ A(s)=0 $ . 因此，可以得出以下等式。 $$ \begin{eqnarray} B’ = - \frac{1}{2} \sigma^2 B^2 - \beta B +1 \end{eqnarray} $$
- 由於這是 Riccatti 方程，因此可以找出特殊解。讓 $ B’=0 $ . 然後，達到以下等式。 $$ \begin{eqnarray} && - \frac{1}{2} \sigma^2 B^2 - \beta B +1 =0 \ && \sigma^2 B^2 + 2 \beta B - 2 =0 \ && B = \frac{-\beta \pm \sqrt{ \beta^2 + 2 \sigma^2} }{\sigma^2} \ && B = \frac{-\beta \pm \gamma}{\sigma^2} \end{eqnarray} $$
- 利用 $ B=(-\beta -\gamma)/\sigma^2 $ . 讓 $ K=(-\beta -\gamma)/\sigma^2 $ . 此外，讓 $ B=u+K $ . $$ \begin{eqnarray} B^2 &=& u^2 + 2 K u + K^2 \ B’&=&u’\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 B^2 - \beta B +1 \ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 ( u^2 + 2 K u + K^2 ) - \beta (u+K) +1\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u + \left( - \frac{1}{2} \sigma^2 K^2 - \beta K +1\right) \ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u + 0 \ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u \ u’ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u \end{eqnarray} $$
- 讓 $ u=1/z $ . 除了， $ u’=-z’/z^2 $ . $$ \begin{eqnarray} u’ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u \ -\frac{z’}{z^2} &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{1}{z^2} - ( \sigma^2 K + \beta ) \frac{1}{z} \ z’ &=& \frac{\sigma^2}{2} + ( \sigma^2 K + \beta ) z \end{eqnarray} $$
- 讓 $ M=\sigma^2/2 $ 和 $ N= ( \sigma^2 K + \beta ) $ . 因此，隨著積分常數 $ C $ , $$ \begin{eqnarray} z&=& C e^{Nt} - \frac{M}{N} \ z&=& \frac{1}{u} = \frac{1}{B-K} = C e^{Nt} - \frac{M}{N} =\frac{C N e^{Nt} - M}{N} \ B&=&\frac{N}{C N e^{Nt} - M} +K %= \frac{N}{C N e^{Nt} - M} + \frac{C N e^{Nt} - KM}{C N e^{Nt} - M} = \frac{C N K e^{Nt} - KM +N}{C N e^{Nt} - M} \end{eqnarray} $$
- 讓 $ t=0 $ ， 自從 $ B=0 $ . $$ \begin{eqnarray} && \frac{C N K e^{0} - KM +N}{C N e^{0} - M} = 0 \ && \frac{C N K - KM +N}{C N - M} = 0 \end{eqnarray} $$
- 在這裡，達到以下條件。 $$ \begin{eqnarray} C &\neq& \frac{M}{N} = \frac{\sigma^2/2}{\sigma^2 K + \beta}= \frac{\sigma^2/2}{ -\beta - \sqrt{ \beta^2 + 2 \sigma^2}+ \beta} = -\frac{\sigma^2}{2 \gamma} \end{eqnarray} $$
- 在註意上述條件的同時計算分子。 $$ \begin{eqnarray} C &=& \frac{KM-N}{KN} \end{eqnarray} $$
- 一達到以下等式。 $$ \begin{eqnarray} K&=& \frac{- \beta - \gamma}{\sigma^2} \ M&=& \frac{\sigma^2}{2} \ KM&=& \frac{- \beta - \gamma}{2} \ N&=& \sigma^2 K +\beta = \beta - \gamma + \beta= - \gamma \end{eqnarray} $$
- 將上述結果代入 $ C $ . $$ \begin{eqnarray} C &=& \frac{KM-N}{KN} = \frac{\frac{-\beta - \gamma}{2}+ \frac{2}{2} \gamma}{ \frac{- \beta - \gamma}{\sigma^2} ( - \gamma) } = \frac{ \frac{-\beta + \gamma}{2}}{ \gamma \frac{ \beta + \gamma}{\sigma^2} } = - \frac{ (\beta - \gamma) \sigma^2 }{ \gamma ( \beta + \gamma ) 2 } \ CN&=&\frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} \ CNK&=& \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} \left(\frac{- \beta - \gamma}{\sigma^2} \right) = - \frac{\beta - \gamma}{2} \end{eqnarray} $$
- 將上述結果代入 $ B $ . $$ \begin{eqnarray} B&=& \frac{C N K e^{Nt} - KM +N}{C N e^{Nt} - M} = \frac{ - \frac{\beta - \gamma}{2} e^{- \gamma t} + \frac{ \beta + \gamma}{2} - \gamma }{ \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} e^{- \gamma t} - \frac{\sigma^2}{2} } \ &=& \frac{ - \frac{\beta - \gamma}{2} e^{- \gamma t} + \frac{ \beta - \gamma}{2} }{ \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} e^{- \gamma t} - \frac{\sigma^2}{2} } = \frac{ - \left( \frac{\beta - \gamma}{2} \right) \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } e^{- \gamma t} -1 \right)} \ &=& - \frac{ ( \beta - \gamma )( \beta + \gamma ) \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \sigma^2 \left( ( \beta - \gamma ) e^{- \gamma t} - ( \beta + \gamma ) \right)} =- \frac{ ( \beta^2 - \gamma^2 ) \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \sigma^2 \left( ( \beta - \gamma ) e^{- \gamma t} - ( \beta + \gamma ) \right)} \ &=& \frac{ 2\sigma^2 \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \sigma^2 \left( ( \beta + \gamma ) e^{- \gamma t} - ( \beta + \gamma ) - 2 \gamma e^{- \gamma t} \right)} \ &=& \frac{ 2 \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ ( \beta + \gamma ) \left( e^{- \gamma t} - 1 \right) - 2 \gamma e^{- \gamma t} } = \frac{ 2 \left( 1 - e^{ \gamma t} \right) }{ ( \beta + \gamma ) \left( 1 - e^{ \gamma t} \right) - 2 \gamma } \ B(t) &=& \frac{ 2 \left( \exp(\gamma t) -1 \right) }{2\gamma +(\beta +\gamma)\left( \exp(\gamma t) -1 \right) }, \qquad \mbox{ with $\gamma=\sqrt{ \beta^2+2\sigma^2}$.} \end{eqnarray} $$
$ \square $