Vasicek 模型問題
我正在分析以下給出的問題
具有風險中性動態的 Vascek 模型
$$ dr_t = \kappa (\theta - r_t)dt + \sqrt{r_t} dW_t \quad \quad (1) $$ 債券價格
$$ P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r_t} \quad \quad (2) $$， 在哪裡 $$ B(t,T)= \frac{1- e^{-\kappa (t-T)}}{\kappa} \quad \quad (3) $$ $$ A(t,T)= (B(t,T)-(T-t))(\theta-\frac{\sigma^2}{2 \kappa^2})-(\frac{\sigma^2 B(t,T)^2}{4 \kappa}) \quad \quad (4) $$
使用 Ito 公式我推導出 $ r_t(\tau) $ （具有恆定期限的連續複利即期利率 $ \tau $ ） 在哪裡 $ \tau $ 是恆定的並且 $ r_t(\tau)=r(t,t+\tau) $ .
$$ r(t,t+\tau)=\frac{-log(P(t,t+\tau))}{\tau} \quad \quad (5) $$ 替換 A 和 B 產生 $$ r(t,t+\tau)=\frac{-A(\tau)}{\tau}+ \frac{r_t}{\tau} B(\tau) \quad \quad (6) $$ 應用這個公式 $ \quad f’(r_t)=\frac{B(t,\tau)}{\tau} \quad $ 和 $ \quad f’’(r_t)=0 $ $$ dr_t(\tau) = f’(r_t)dr_t + \frac{1}{2} f’’(r_t) d<r>_t \ = \ \frac{B(t,\tau)}{\tau} dr_t \quad \quad (7) $$ 代替 $ dr_t $ 給我方程
$$ dr_t(\tau)= \frac{B(t,\tau)}{\tau}(\kappa (\theta - r_t)dt + \sqrt{r_t} dW_t)) \quad \quad (8) $$ 我得到的最終答案與解決方案手冊建議的答案不同 $ dr_t(\tau)= \frac{B(t,\tau)}{\tau}(\kappa (\theta - r_t)dt + \frac{B(t,\tau)}{\tau} dt \quad $ 這令人困惑。
我的問題
Vasicek 模型在這個問題中以不同於書中通常看到的形式給出 $ dr_t = \kappa (\theta - r_t)dt + \sigma dW_t $ 這是劇透嗎？這個應該怎麼分析？
最後等式中的第二個確實 $ \sqrt{r_t} dW_t $ 翻譯成 $ dt $ ?
首先，您在等式 (1) 中提到的短期利率模型是 Cox-Ingersoll-Ross，而等式 (2)-(4) 中的債券價格對應於 Vacisek 模型。所以某處有問題，我會在（1）中打錯字。
其次，你寫的對我來說似乎很好，所以你的解決方案手冊中肯定還有另一個錯字。請注意，如果沒有 $ dW_t $ SDE 中的術語 $ r(t,t+\tau) $ 就像你的手冊中所說的那樣，這個數量是可以預測的，這首先違背了建立隨機利率模型的目的。