當給定模型描述 r 時，仿射債券價格的 Q 動態是什麼？
假設一個仿射期限結構模型，其中債券價格被定義為：$$ P(t,T)=\exp({A(t,T)-B(t,T)r_t)} $$並根據模型描述短期利率的 Q 動態：$$ dr_t=ar_tdt+\sigma dW_t $$因此有：$$ \partial_t{A(t,T)}=-\frac{\sigma^2}{2}B^2(t,T) \\partial_tB(t,T)=-aB(t,T)-1 $$ 什麼是債券價格的 Q 動態 $ dp(t,T) $ ?
從 P-dyanimics 開始是否正確： $$ dp(t,T)=((B(t,T)+1)a+1)r_tp(t,T)dt-\sigma p(t,T)dW_t $$並通過將新布朗運動定義為$$ dW_t^{\mathcal{Q}}=dW_t-\frac{(B(t,T)+1)ar_t}{\sigma}dt $$
您可以在風險中性度量下簡單地使用 Ito 引理 $ Q $ .對於對數債券價格 $ p(t,T) $ 這給了
$$ dp(t,T)=(A_t(t,T)-B_t(t,T)r_t)dt-B(t,T)dr_t $$
$$ =[A_t(t,T)-(B_t(t,T)+B(t,T)a)r_t]dt-B(t,T)\sigma dW_t $$
這裡 $ A_t(t,T) $ 和 $ B_t(t,T) $ 是偏導數 $ t $ 和 $ W_t $ 是下維納過程 $ Q $ .
只需加上我的兩分錢。在不取價格的對數的情況下，伊藤引理應得出：
$ d p(t,T) = \left( \partial_t A(t,T) - \partial_t B(t,T) r + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 \right)p(t,T) dt - B(t,T) p(t,T) dr_t $
現在代入偏導數和微分 $ dr_t $ ，並簡化相同的項：
$ d p(t,T) = r_t p(t,T) d t - \sigma B(t,T) p(t,T) d W_t $