利率
什麼是利率模型中的風險中性？
在 Shreve II 中，第 1 頁。265 他將赫爾-懷特利率模型描述為
$$ dR(u) = \left( a(u) - b(u)R(u)\right) dt + \sigma(u)d\tilde{W}(u), $$ 然後提到“… $ \tilde{W}(u) $ 是風險中性測度下的布朗運動 $ \tilde{\mathbb{P}} $ .” 然而，當他在第 228 頁定義風險中性度量時，他指出 $ \tilde{\mathbb{P}} $ 是貼現股票價格為鞅的度量。 這個定義在這裡並不真正適用，那麼在建模利率時“風險中性度量”是什麼意思？此外，為什麼利率模型似乎總是在這些風險中性機率下陳述？
這是一個非常有趣的問題。金融建模中的馬丁格爾方法一書中有一個簡短的解釋。基本上，它說，短期利率 $ r_t $ 可以用任何鞅測度建模 $ Q $ 但是，只要債券價格為零息 $ P(t, T) $ 定義為
$$ \begin{align*} P(t, T) = E^{Q}\Big(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid \mathcal{F}_t\Big) \end{align*} $$ 然後是貼現的債券價格$$ \frac{P(t, T)}{B(t)}, $$ 是一個 $ Q- $ 鞅，並且是無套利的。這裡 $ B(t)= e^{\int_0^tr_sds} $ 是貨幣市場賬戶價值。這為我們提供了選擇鞅測度的自由，人們總是假設利率模型是在風險中性機率測度下定義的。