為什麼赫爾的 LMM 與 Brigo 和 Mercurio 的 LMM 看起來如此不同？
當我查看赫爾的“期權期貨和其他衍生品”時， $ F_k(t) $ 在前滾風險中性世界中被指定為
$ \frac{dF_k(t)}{F_k(t)} = \sum^k_{i=m(t)}\frac{\delta_iF_i(t)\zeta_i(t)\zeta_k(t)}{1+\delta_iF_i(t)}dt + \zeta_k(t)dz $
在哪裡
- $ F_k(t) $ 是時間之間的遠期匯率 $ t_k $ 和 $ t_{k+1} $
- $ \zeta_k $ 是波動率 $ F_k(t) $ 在時間 t（瞬時波動率）
- $ \delta_k $ 是之間的複利期 $ t_k $ 和 $ t_{k+1} $
- $ m(t) $ 是時間的下一個重置日期的索引 $ t $
在 Brigo 和 Mercurio 的利率模型 - 理論與實踐中，對數正態遠期 LIBOR 模型即期測量動態指定為：
$ dF_k(t) = \sigma_k(t)F_k(t)\sum^k_{j=\beta(t)}\frac{\tau_j\rho_{j,k}\sigma_j(t)F_j{t}}{1+\tau_jF_k(t)}dt + \sigma_k(t)F_k(t)dZ^d_k(t) $
變成
$ \frac{dF_k(t)}{F_k(t)} = \sigma_k(t)\sum^k_{j=\beta(t)}\frac{\tau_j\rho_{j,k}\sigma_j(t)F_j{t}}{1+\tau_jF_k(t)}dt + \sigma_k(t)dZ^d_k(t) $
在哪裡
- $ \sigma_k(t) $ 是瞬時波動率 $ F_k(t) $
- $ \tau_k $ 是之間的複利期 $ t_k $ 和 $ t_{k+1} $
- $ \beta(t) $ 是未到期的下一個遠期匯率的指數
- $ \rho_{i,j} $ 是兩個遠期利率之間的瞬時相關性 $ F_i(t) $ 和 $ F_j(t) $
我能看到的唯一區別是 Brigo 和 Mercurio 包含相關性 $ \rho_{j,k} $ .
我如何調和這種差異？赫爾是否假設遠期利率不相關？
赫爾使用了一個單一的布朗驅動器。他確實在幾頁後添加了方程（31.15）（在我的第 7 版中） $ p $ 獨立布朗驅動：
$$ \frac{dF_k(t)}{F_k(t)} = \sum_{i=m(t)}^k \frac{\delta_iF_i(t) \sum_{q=1}^p\zeta_{i,q}(t)\zeta_{k,q}(t)}{1+\delta_iF_i(t)} dt +\sum_{q=1}^p \zeta_{k,q}(t) dz_q $$
和 $ \zeta_{k,q}(t) $ 波動率的組成部分 $ F_k(t) $ 歸因於 $ q $ 布朗司機。