為什麼在定價香草風格衍生品時模擬隨機波動率沒有用？
關於使用者 AFK 在關於隨機波動率模型的想法中的回答。
我對利率選項（IR Caps/Floors and Swaptions）特別感興趣。
我認為使用隨機波動率模型的主要優勢是產生一致的波動率微笑。讓我們考慮正態和對數正態波動率的定價公式： $$ dS_t=\sigma dW_t\Rightarrow \mathbb{E}[(S_T-K)^+]=(S_t-K)\Phi\left(\frac{s-S_t}{\sigma\sqrt{\Delta t}}\right)+\sigma\sqrt{\Delta t}\phi\left(\frac{s-S_t}{\sigma\sqrt{\Delta t}}\right) $$ $$ dS_t=\sigma S_tdW_t\Rightarrow \mathbb{E}[(S_T-K)^+]=S_t\Phi\left(\frac{\ln(S_t/K)+\sigma^2\Delta t/2}{\sigma\sqrt{\Delta t}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln(S_t/K)-\sigma^2\Delta t/2}{\sigma\sqrt{\Delta t}}\right) $$ 這兩個模型不能產生不同行使價的期權價格，並且沒有一致的方法來聚合不同期權的delta $ K $ 的。因此，我們無法正確對沖歐式香草期權，因為微笑每天都在變化，而且 Bachelier 和 Black 模型都沒有提供任何有關其動態的資訊。此外，在 IR 上限和下限的情況下，這些公式僅適用於一種特定的遠期利率，即在風險中性定價措施下，只有一種遠期利率是鞅，而不適用於整個遠期曲線。
IR vanillas 的 SABR 模型被引入以非常靈活的方式生成偏斜和微笑，因為它在遠期價格和波動性方面是同質的，並且給定動態 $$ dS_t=\alpha_t S^\beta_tdW_t $$ $$ d\alpha_t=\alpha_t \nu dZ_t, \quad d\langle W,Z\rangle_t=\rho dt $$ 它有近似值 $$ \alpha S^\beta+\frac{\rho\nu+\alpha S^\beta\frac{\beta}{S}}{2}(K-S)+\frac{(2-3\rho^2)\nu^2+(\alpha S^\beta)^2\frac{\beta(\beta-2)}{S^2}}{12\sigma}(K-S)^2 $$
在哪裡 $ \alpha S^\beta=\sigma^{ATM} $ . 準確地插值跨時限和期限，我們可以建構微笑。請注意，現在我們需要對沖 delta 和 vega，因為兩者 $ S $ 和 $ \alpha $ 是隨機的。然而，由於它們是相關的（通常是負相關的），通過 delta 對沖也可以減少 vega 敞口，因為 $$ d\alpha_t=\alpha_t\nu(\rho \underbrace{dW_t}_{=\frac{1}{\alpha_t S_t^\beta}dS_t}+\sqrt{1-\rho^2}dZ_t^{\perp}) $$. 留下一個較小的剩餘 vega 進行套期保值。