為什麼 LGM 模型中的計價器可以交易？
我試圖理解 LGM 模型，Hagan 定義如下。狀態變數 $ X $ 根據進化 $$ dX(t) = \alpha(t) dW^N(t) $$ wrt numeraire $$ N(t) = \frac{1}{P(0,t)} e^{H(t)X(t)+H^2(t)\int_0^t\alpha^2(s)ds}. $$ 功能 $ H $ 和 $ \alpha $ 是確定性的，可以（幾乎）任意選擇。
我想了解為什麼 $ N $ 甚至一開始就有資格作為計價器。這是積極的，但沒有任何其他假設，我看不出它必須是可交易的資產。
SDE 也用於 $ X $ 取決於 $ W^N $ ，這取決於 $ N $ ，這又取決於 $ X $ . 我了解假設一切都已明確定義並且 $ N $ 是一個有效的計價器，我們可以推導出下面的顯式形式 $ Q $ 吉薩諾夫，但定義不是有點循環嗎？
令人困惑的是，您認為我們將 numeraire 定義為這個指數函式……事實並非如此。我們將 numeraire 屬性賦予 $ N $ ，然後我們對其進行建模。類似於任何其他模型。
我們所知道的是 $ N $ 是積極的，我們有$$ \frac{V_t}{N_t}=E^{N}\left[\frac{V_T}{N_T}|\mathbb{F_t}\right] $$在哪裡 $ V_t $ 是一種可交易資產。
$ N $ 可以是貨幣市場賬戶，即按時支付的零息債券 $ T $ …或者它可以保持“無名”。定義它到底是什麼實際上是無關緊要的，我知道不能描繪出這個數字可能會產生誤導。
無論是否定義，我們總是需要對計價器進行建模，即第二步。當我們為零息債券建模時，我們確保它具有不違反我們在第一段中定義的屬性。這個數字也一樣 $ N $ .
就度量而言，如果它是循環的，那麼對於所有模型來說都是同一個問題。當你在風險中性測度下使用最簡單的短期利率模型時，計價單位是貨幣市場賬戶，它是短期利率模型的函式……
這是同樣的故事，我們首先定義一個 numeraire $ N $ （只是命名它並給它所有的 numeraire 屬性），我們說 numeraire 是由 SDE 驅動的 $ X $ 在使所有比率的措施下 $ \frac{V_t}{N_t} $ 鞅在哪裡 $ V $ 是一種資產。