零息債券 - 利率為擴散過程且“市場風險價格”為 0 時的價格和收益率
假設市場風險的價格（或利率風險的市場價格）是 $ \lambda(r_t, t)=0 $ 並且我們有以下利率動態（在物理測量下 $ P $ .
$$ dr_t = \sigma dW_t^P \quad , \quad \sigma \in \mathbb{R}, ; W_t \text{ is a Wiener Process}. $$
如果我們進一步有關係 $ dW_t^Q=dW_t^P-\lambda(r_t,t) $ 那麼我們也有 $$ dr_t = \sigma dW_t^Q, $$ 在哪裡 $ Q $ 表示風險中性度量。
我想找到
- 零息債券的價格和
- 零息債券的收益率。
我認為我的大部分計算都是正確的，但我遺漏了一些。我的工作如下：
對於價格， $ p(t,T) $ , 對於在 ZCB 的時間 $ t $ 成熟的 $ T $ , 我想找到定價函式 $ F(t,r_t;T)=p(t,T) $ 滿足期限結構方程 $$ F_t^T+\frac{1}{2}\sigma^2F_{rr}^T-rF^T=0 $$ 其中下標表示微分，我們也有邊界條件 $ F^T(T,r_t;T)=p(T,T)=1. $
為此，我應用 Feynmann-Kac 定理得到 ZCB 的價格為 $$ p(t,T)=F(t,r_t;T)=e^{-r_t(T-t)}E^Q_t[1]=e^{-r_t(T-t)} $$.
然而，由於（連續複利）零息票收益率由下式給出 $$ y(t,T)=-\frac{\log p(t,T)}{T-t} $$
然後以我會得到的價格插入我的結果 $ y(t,T)=r_t $ .
我認為我做錯了什麼，因為最後的結果對我沒有多大意義。例如，我將無法從這個 a 中製作收益率曲線。還有什麼會 $ r_0 $ 是？
標准定價公式適用：
$$ p(t,T)=\mathbb{E}_t^Q[e^{-\int_t^{T}r_sds}] $$
從 $ dr_t=\sigma dW_t $ 你可以解決：
$$ r_t=r_0+\sigma W_t $$
注意（參見：布朗運動對時間的積分）
$$ \int_t^{T}W_sds \sim N(0,\frac{1}{3}(T-t)^3) $$
因此
$$ -\int_t^{T}r_sds \sim N(-r_0(T-t),\frac{1}{3}(T-t)^3\sigma^2) $$
使用對數正態變數的平均值公式：
$$ p(t,T)=\exp(-r_0(T-t)+\frac{1}{6}(T-t)^3\sigma^2) $$
因此
$$ y(t,T)=r_0-\frac{1}{6}(T-t)^2\sigma^2 $$
在這個模型中，所有收益率都等於目前的短期利率減去（通常很小的）凸度調整。