在什麼情況下，資產收益的條件分佈比無條件分佈的高斯分佈更小？
我研究了回報序列的無條件分佈和條件分佈，其中無條件分佈只是回報的邊際分佈，而條件分佈是 GARCH 模型的殘差分佈（即，為 GARCH 調整的回報序列影響）。
直覺上，我認為與高斯性的偏差很大一部分（例如，高 Jarque-Bera 或 Kolmogorov-Smirnov 統計量）是由於 GARCH 效應，所以我希望條件分佈更接近高斯分佈（即，較低的 JB 或 KS 統計數據）。如需參考，請參閱續 (2000)。
我的問題是，條件分佈（例如，GARCH 殘差的分佈）怎麼可能比無條件分佈更遠離高斯分佈？GARCH 模型如何加劇與正態性的偏差？這對 GARCH 模型的適當性有何說明，我該如何診斷？這裡可能違反的基本假設是什麼？
如果高斯模型是真實模型，則情況並非如此。如果你看到了，那麼你的觀察結果與 Mandelbrot 在 1963 年的觀察結果是一致的。特別是：
Mandelbrot B (1963) 某些投機價格的變化。商業雜誌 36(4):394–419
我會因此而被否決，但它不是高斯的原因是已經證明它只能在一種情況下是高斯的，那就是你相信你會在每個時期都蒙受損失，而忽略機會效應的影響. 如果平均值是一個小的持續損失和足夠高的相對標準偏差，就有可能獲得一些正回報。您可以在以下位置找到相關文獻：
Mann H, Wald A (1943) 關於線性隨機差分方程的統計處理。計量經濟學 11:173–200
和
White JS (1958) 爆炸案例中序列相關係數的極限分佈。數理統計年鑑 29(4):1188–1197
Rao 將最後一篇文章擴展到所有有限階 AR 案例，但我不記得引用在哪裡。
這些都適用於費舍爾關於機率的可能性主義觀點。對於 Pearson 和 Neyman 對機率的解釋，CAPM 和相關模型是不存在的。這裡的討論太長了。然而，簡短的版本是這樣的。White 的文章表明，在 Fisher 對 CAPM 或 Black-Scholes 等模型的機率的理解中，不存在均值變異數金融的*估計量。*不幸的是，這並不是很明顯。Pearson 和 Neyman 的方法將允許像 Theil 回歸這樣的有效工具，但由於它是基於中位數和四分位數範圍的工具，您不會有均值變異數金融，您將有中位數四分位數範圍金融。
我寫了一篇關於貝氏案例的文章，因為貝氏統計總是可以接受的統計數據，而非貝氏統計只有在它們與貝氏在任何樣本或極限處匹配時才可以接受。關於此的原始 Wald 文章* An Essentially Complete Class of Decision Functions* 的可讀性不如說
Parmigiani G, Inoue L (2009) 決策理論：原則和方法。威利機率與統計系列，威利，奇切斯特，西薩塞克斯郡
對於我的文章，您可以閱讀 Harris, David E., The Distribution of Returns（2016 年 8 月 24 日）。可在 SSRN 獲得：https ://ssrn.com/abstract=2828744
我要指出的是，最初的 GARCH 文章在股票上進行了測試，他們發現股票嚴重違反了該工具的基本假設。具有諷刺意味的是，似乎沒有人讀過這部分內容，而 GARCH 從那以後就一直存在。我即將修改上述文章以最終送出出版。我的文章涉及貝氏解決方案和回歸模型的解決方案，包括非貝氏案例。我會在這裡用引用來複製它，但它花了三頁，我不在乎重新打字和背誦三頁。
我對1925 年至 2013 年 CRSP 領域的所有日終交易減去空殼公司等一些東西，對論文的主要部分進行了*人口測試。*由於所有模型選擇過程要麼是貝氏過程，要麼是貝氏過程的限制形式，因此我只允許百萬分之一的機會證明上述文章是正確的。高斯假設被授予 999999/100000 的先驗機率。儘管先前存在偏見，但高斯模型被壓倒性地拒絕了。人們可以隨心所欲地爭論理論，但與數據人群爭論是瘋狂的。
回到第一篇 GARCH 論文，我在某處的文件中有它，但我沒有引用，因為我在其中找不到它。它警告說，股票不具備 GARCH 運作所需的屬性。您得到響應是因為您使用的算法與自然的距離如此之大，以至於您正在估計的內容和如何估計的方式之間的 Kullback-Leibler 分歧非常大。
我推薦以上所有論文，您現在可以停止使用 GARCH。另外，請注意這不是自我推銷的文章，但自 60 年代以來很少有同行評議的論點，並且它們沒有為觀察到的分佈提供第一原則的理由。雖然有關於各種穩定分佈的文章，但它們基本上是關於擬合參數的文章，而不是首先存在參數的原因。
如果我是你，我會從帕瑪強尼的書開始，因為它根本不是關於金融的，而是關於背景數學原理的。