動態優化
考慮一個簡單的動態消耗節約問題。可以使用生成一組一階條件和一些邊界條件的拉格朗日方法來表徵解決方案。
另一種方法是設置使用貝爾曼方程。我不明白的是，為什麼貝爾曼方程方法似乎沒有在解決方案方法中使用有關邊界條件的資訊？也就是說，貝爾曼方程確實在時間段 t 和 t+1 之間進行了權衡，但似乎沒有表示某些總體預算約束。
動態規劃（“貝爾曼方程”）公式結合了我們使用拉格朗日/歐拉方程公式時所需的終端邊界條件（“橫向條件”）。兩種方法仍然需要初始條件。
要了解原因，請考慮問題
$$ \text{max}{{x_t}} \sum{t=0}^{\infty} \beta^t U(c_t) $$ $$ s.t.;;; a_{t+1}= (1-r)a_t + w - c_t, ;;; a_0 ; \text{given} $$ 解決預算約束 $ c_t $ 並插入目標函式，我們有緊湊的
$$ \text{max}{{a{t}}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(a_t, a_{t+1}),;;;; a_0 ; \text{given} $$ 我們將下一期的存量變數視為我們的決策變數。現在對於最優序列， $ a^*_{t+1} $ 必須解決以下問題：
$$ \max_y \big[U(a^_t, y) + \beta U(y, a^_{t+2})\big],;;; y;; \text{feasible given};; a^_t $$ 用 Stokey 和 Lucas 的話來說，“序列的一個可行變體 $ {a^_t} $ 不能導致對最優策略的改進”。
然後我們得到一階條件（關於微分 $ y $ 本質上）
$$ U_2(a^_t, a^{t+1}) + \beta U_1(a^*{t+1}, a^_{t+2}) =0 $$ 下標在哪裡 $ 1,2 $ 表示偏導數。這是一個二階差分方程，因此需要兩個*邊界條件。我們已經有了其中一個，給定的財富初始值 $ a_0 $ . 我們還需要一個，因此是終端的“橫向性”條件。
相反，使用動態規劃方法，我們得到一階差分方程，我們不需要額外的邊界條件。
有關完整的說明，請參見Stokey & Lucas p. 97-100。
一般來說，我不確定你的鬥爭到底在哪裡。為了嘗試解決您的問題，我們在動態問題中可能需要什麼樣的邊界條件？
考慮我們有的兩期消費儲蓄問題
$$ c_1 + s_1 = y_1 $$ $$ c_2 = y_2 + (1+R)s_1 $$ $ y_1, y_2 $ 作為每個時期的禀賦， $ s_1 $ 作為儲蓄， $ R $ 為了利息，和 $ c_1, c_2 $ 供消費。鑑於一些 $ U(c_1, c_2) $ ，我們要求解每個時期的最優消費。我們可以將預算合併為：
$$ c_2 = y_2 + (1 + R)(y_1 - c_1) $$ $$ \implies c_1 + \frac{c_2}{1 + R} = y_1 + \frac{y_2}{1 + R} $$ 並表達拉格朗日問題：
$$ \mathcal{L} = U(c_1, c_2) - \lambda(c_1 - \frac{c_2}{1 + R} - y_1 - \frac{y_2}{1 + R}) $$ 解決 FOC 問題讓我們：
$$ U_{c_1} - \lambda = 0 $$ $$ U_{c_2} - \frac{\lambda}{1 + R} = 0 $$ $$ \implies \frac{U_{c_1}}{U_{c_2}} = 1 + R $$ 但是你也可以將這個問題表達為一個貝爾曼，並且仍然保持原來的合併預算約束。
$$ \max_{c_1, c_2, y_1, y_2} U(c_1, c_2) \quad \text{s.t.} \ c_1 + \frac{c_2}{1 + R} = y_1 + \frac{y_2}{1 + R} $$ 你有一個價值函式 $ y_1 $ （是的， $ y_1 $ 仍然給出）
$$ V(y_1) = \max_{c_1, c_2, y_2} \ U(c_1, c_2) \quad \text{s.t.} \ y_1 = c_1 + \frac{c_2}{1 + R} - \frac{y_2}{1 + R} $$ 為了使這個問題對貝爾曼來說不那麼微不足道，你可以有一個約束，其中 $ c $ 決定 $ y $ 不知何故。但除此之外，您仍然可以在此處將預算約束合併到您的問題中，儘管它可能看起來很奇怪。