效用函式中的貨幣 - 價值函式
我正在閱讀 Walsh（2003 年）關於貨幣經濟學的書。特別是關於效用函式中的貨幣的章節。我了解值函式的基礎知識，但我似乎無法獲得與作者相同的結果。
在哪裡
即人均預算約束。然後他找到了一個表達式 $ w_{t+1} $ :
這是我困惑的第一個來源。以前他將每個工人的產出定義為每個工人的資本的函式，即 $ y_{t}=f(\frac{k_{t-1}}{1+n}) $ 在哪裡 $ n $ 是人口增長率。但突然間他把它改成了 $ \frac{f(k_{t-1})}{1+n} $ . 我知道這本書中有很多錯別字，這只是其中一個還是我遺漏了一些瑣碎的東西？
無論哪種方式，他都使用預算約束來表達 $ k_{t} $ 作為 $ w_{t}-c_{t}-m_{t}-b_{t} $ 和的定義 $ w_{t+1} $ 將價值函式表示為：
現在，我不知道是因為我睡眠不足還是因為有一個錯字，但我似乎無法得到與沃爾什相同的結果。例如，區分 wrt $ c_{t} $ 我得到：
$ u_{c}(c_{t},m_{t}) + \beta*V_{w}(w_{t+1})[\frac{-f’(w_{t}-c_{t}-m_{t}-b_{t})}{1+n}(-1)+\frac{1+\delta}{1+n}(-1)] $
雖然沃爾什得到
我錯過了一些明顯的東西還是有錯字？
提前致謝！
您的計算有兩個錯別字 a) 您輸入的減號乘以與 $ f’ $ b）你寫 $ (1+\delta) $ 代替 $ (1-\delta) $ . 如果我們糾正這些，我們有
$$ u_{c}(c_{t},m_{t}) + \beta V_{\omega}(\omega_{t+1})\left[\frac{f’(\omega_{t}-c_{t}-m_{t}-b_{t})}{1+n}(-1)+\frac{1-\delta}{1+n}(-1)\right] $$ 取出減號和 $ 1/(1+n) $ , 和壓縮 $ f’(\omega_{t}-c_{t}-m_{t}-b_{t})=f_k(k_t) $ 我們有
$$ u_{c}(c_{t},m_{t}) - \frac {\beta}{1+n}V_{\omega}(\omega_{t+1})\left[f_k(k_t)+1-\delta\right] $$ 這是書中的表達。
關於每個工人的產出的定義：
鑑於評論中的澄清，期間的總產出 $ t $ 是
$$ Y_t = F(K_{t-1}, N_{t}) $$ 儘管 $ N_t = N_{t-1}(1+n) $ .
我猜假設規模報酬不變，所以人均規模是
$$ y_t = \frac{Y_t}{N_t} = F\left (\frac{K_{t-1}}{N_t}, \frac{N_{t}}{N_t}\right ) = F\left (\frac{K_{t-1}}{N_{t-1}(1+n)}, 1\right ) $$ 現在，考慮這裡的符號/概念問題：我們將傾向於“自動”編寫 $ K_{t-1}/N_{t-1} \equiv k_{t-1} $ 由於相同的索引，但是 $ K_{t-1}/N_{t-1} $ 在經濟上沒有意義，因為 $ K_{t-1} $ 在生產中不與 $ N_{t-1} $ . 該比率描述了“期間使用的資本 $ t $ 期間每個工人 $ t-1 $ ”。
無論如何，如果我們在建構我們定義的模型時明確聲明 $ k_{t-1} $ 這樣，我們最終得到
$$ y_t = f\left(\frac {k_{t-1}}{1+n}\right) $$ 和期間的預算約束 $ t $ 是正確的，而一個時期 $ t+1 $ 不是。這如何影響關於消費的一階條件？
（請注意，使用這些符號約定，“期間每個工人的資本 $ t $ “ 是 $ k_{t-1}/(1+n) $ -我在其他地方爭論過為什麼建模者最好採用以下含義 $ k_{t-1} $ 表示期初的值 $ t-1 $ 所以用於時期的生產 $ t-1 $ ).