住房消費和勞動力的動態規劃
我嘗試用動態規劃解決代表性家庭的以下最大化問題。但是，我的最後一個結果與解決方案不相似。任何人都可以幫助我嗎？
$$ \max\limits_{C_{t},H_t,N_t} E_0 \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t\Bigg[logC_t+jlogH_t-\dfrac{(N_t)^\eta}{\eta}\Bigg] $$ $ C_t,H_t,N_t $ 分別代表時間 t 的消費、住房存量和工作時間。家庭預算約束： $ C_t + b_t +q_t(H_t-H_{t-1})=\dfrac{R_{t-1} b_{t-1}}{\pi_t}+w_t N_t+F_t $
$ b_t $ 表示銀行存款， $ R_t $ 是存款的回報， $ q_t $ 是房價， $ \pi_t $ 是通貨膨脹率和 $ w_t $ 是實際工資率。 $ F_t $ 表示從企業獲得的利潤。為了解決這個問題，我通過以下步驟使用動態規劃： 第 1 步：貝爾曼方程：
我認 $ b_{t-1} $ 作為狀態變數，因為住戶必須知道上一期的存款。預算約束可以重寫為： $ b_t=f(C_t,b_{t-1},H_t,H_{t-1},N_t,F_t,q_t,R_{t-1},\pi_t) $
第 1 步：建立貝爾曼方程：
$ V(b_{t-1})=\max\limits_{C_{t},H_t,N_t} \Bigg{logC_t+jlogH_t-\dfrac{(N_t)^\eta}{\eta} +\beta E_tV(b_t) \Bigg} $
共態變數的演變 $ b_t $ ，使用包絡定理：
$$ \dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial b_{t-1}} =\beta E_t \dfrac{\partial V(b_{t})}{\partial b_{t}} \dfrac{\partial b_t}{\partial b_{t-1}} = \beta E_t V’(b_t) \dfrac{R_{t-1}}{\pi_t} $$(1) 第 2 步：FOC
一階條件 (FOC1)
$$ \dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial C_t}=\frac{1}{C_t}+\beta E_t V’(b_t)\dfrac{\partial b_t}{\partial C_t}=0 $$ $ \dfrac{\partial b_t}{\partial C_t}=-1 $ $ \dfrac{1}{C_t}=\beta E_t V’(b_t) $ (2)
將 (2) 插入 (1) 兩次以獲得歐拉方程，我們有：
$$ \dfrac{1}{C_t}=\beta E_t \Bigg(\dfrac{R_t}{\pi_{t+1 C_{t+1}}}\Bigg) $$ 此結果類似於解決方案
FOC2：
$$ \dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial N_t}=-(N_t)^{\eta-1}+\beta E_t V’(b_t)w_t=0 $$ 插入 (2)，我們有： $ \dfrac{1}{C_t} w_t = -(N_t)^{\eta-1} $ ,這個結果和解類似 FOC3：第三個 FOC 涉及對 $ V(b_{t-1}) $ 和 $ H_t $ ，但我無法通過解決方案獲得相同的結果：解決方案是：
$$ \dfrac{j}{H_t}=\dfrac{1}{C_t}q_t-\beta E_t \dfrac{1}{C_{t+1}}q_{t+1} $$ 我最終只得到：
$$ \dfrac{\partial V(b_{t-1})}{\partial H_t}=\dfrac{j}{H_t}+\dfrac{1}{C_t}(-q_t)=0 $$ 我錯過了什麼？我是否正確辨識了狀態變數？我懷疑它與 $ H_t $ 和 $ H_{t-1} $ ，但我無法弄清楚
$$ V(b_{t-1})=\max\limits_{C_{t},H_t,N_t} \Bigg{\ln C_t+j\ln H_t-\dfrac{(N_t)^\eta}{\eta} +\beta E_tV(b_t) \Bigg} $$ 所以
$$ \beta E_tV(b_{t})=\beta E_t\left[\max\limits_{C_{t+1},H_{t+1},N_{t+1}} \Bigg{\ln C_{t+1}+j\ln H_{t+1}-\dfrac{(N_{t+1})^\eta}{\eta} +\beta E_{t+1}V(b_{t+1}) \Bigg}\right] $$ 但是轉發預算約束
$$ C_t + b_t +q_t(H_t-H_{t-1})=\dfrac{R_{t-1} b_{t-1}}{\pi_t}+w_t N_t+F_t $$ 我們重新安排後得到，
$$ C_{t+1} =- b_{t+1} -q_{t+1}(H_{t+1}-H_{t})+\dfrac{R_{t} b_{t}}{\pi_{t+1}}+w_{t+1} N_{t+1}+F_{t+1} $$ 所以 $ \beta E_tV(b_{t}) $ 也是一個函式 $ H_t $ 通過 $ C_{t+1} $ .