使用價值函式進行優化
我有以下優化問題：
最大限度 $ E_{0}\sum_{t=0}^{\infty}[log(c_{t}) + log(m_{t})] $ 受制於 $ y + \frac{M_{t-1}}{p_{t}} + R_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}} = c_{t} + m_{t}+b_{t}+\tau_{t} $
其中小寫字母表示實變數， $ R $ 是總名義利率。
我正在嘗試使用價值函式方法來解決這個問題，但我很難理解在這種情況下狀態變數應該是什麼。我嘗試以財富為狀態，並製定了以下價值函式：
$ V(a_{t}) = \max_{c_{t}, m_{t},b_{t}} [u(c_{t},m_{t}) + \beta V(a_{t+1})] $
在哪裡 $ a_{t} = y+ \frac{M_{t-1}}{p_{t}} + R_{t-1}\frac{B_{t-1}}{p_{t}} $ 並且假定給定初始值。我現在的問題是我不知道用什麼代替 $ a_{t+1} $ . 我已經嘗試轉發預算約束的左側（即 $ a_{t+1} = y + \frac{m_{t}}{\pi_{t+1}} + R_{t} \frac{b_{t}}{\pi_{t+1}}) $ 然后區分 wrt c,m 和 b 但我的結果很奇怪。此外，如果我理解正確，我還必須找到 $ V_{a}(a_{t}) $ 我不能用這個替換來做。
我正在嘗試使用沃爾什的書來學習這一點，在他的範例中，預算約束的資本出現在預算約束的兩側，這使他可以將資本重寫為 $ a_{t} $ . 我嘗試做同樣的事情，但使用真正的餘額；
從預算約束我可以寫 $ m_{t} = a_{t}-c_t-b_t-\tau_t $
所以， $ V(a_{t}) = [u(c_{t},m_{t}) + \beta V(y + \frac{a_{t}-c_t-b_t-\tau_t}{\pi_{t+1}}) + R_{t} \frac{b_{t}}{\pi_{t+1}} ] $
我再次區分 wrt c、m 和 b，這一次我的結果看起來不那麼瘋狂但仍然不正確。我得到：
（C） $ u_{c} - \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0 $
(男) $ u_m + \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0 $
(二) $ \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{R_{t}}{\pi_{t+1}} - \frac{1}{\pi_{t+1}}] = 0 $
最後， $ V_{a}(a_{t}) = \beta V_{a}(a_{t+1})[\frac{1}{\pi_{t+1}}] $
最後的條件意味著 $ u_{c} = V_{a}(a_{t}) $ 這類似於沃爾什的回答，但我似乎無法從我的工作中獲得費雪方程和貨幣需求函式的形式。
還有平衡條件 $ c_{t} = y-g $ 但我不知道什麼時候強加它。
關於我做錯了什麼有什麼想法嗎？
從您的原始方程式開始：
$ max_{c_t, m_t, b_t} E_0\sum_{t=0}^\infty U(c_t, m_t) $
英石
(1) $ y+\frac{m_{t-1}}{1+\pi_t}+\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}b_{t-1}=c_t+m_t+b_t+\tau_t $
這裡： $ R_{t-1} =1+i_{t-1} $ 和 $ 1+\pi_t=\frac{P_t}{P_{t-1}} $
請注意，在這個問題中，您有兩個狀態變數， $ m_{t-1} $ 和 $ b_{t-1} $ ，而您的主要問題是您將這些捆綁在一起。您的服務員應該是：
$ V(m_{t-1},b_{t-1})=max_{c_t, m_t, b_t} U(c_t,m_t)+E_t\beta V(m_t,b_t) $
聖 (1)
你可以在這裡使用你的約束來擺脫一個控制，或者你可以使用拉格朗日來解決它。如果你用你的約束來代替 $ c_t $ ，您更新的問題變為：
$ V(m_{t-1},b_{t-1})=max_{m_t, b_t} U(c_t(y, m_{t-1}, b_{t-1},m_t, b_t, \tau _t),m_t)+E_t\beta V(m_t,b_t) $
為了澄清：
$ c_t(y, m_{t-1}, b_{t-1},m_t, b_t, \tau t)=y+\frac{m{t-1}}{1+\pi_t}+\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi_t}b_{t-1}-m_t-b_t-\tau _t $
FOC：
$ [b_t $ ]: $ -U_{c_t}+\beta E_tV_{b_t}=0 $
$ [m_t] $ : $ -U_{c_t}+U_{m_t}+\beta E_tV_{m_t}=0 $
信封：
$ [b_{t-1}] $ : $ U_{c_t}\frac{1+i_{t-1}}{1+\pi t}\implies V{b_t}=U_{c_{t+1}}\frac{1+i_t}{1+\pi _{t+1}} $
$ [m_{t-1}] $ : $ U_{c_t}\frac{1}{1+\pi t}\implies V{m_t}=U_{c_{t+1}}\frac{1}{1+\pi _{t+1}} $
您應該能夠將這些方程式組合起來，從而找到對貨幣的需求。對我而言，您的均衡條件（以及設置中不存在資本的事實）意味著實際變數中沒有儲蓄，因此您沒有任何東西可以確定實際利率，因此您缺乏找到費希爾方程的資訊。