折舊的吃蛋糕問題（建模困難）
如何用折舊來模擬吃蛋糕的問題？（即蛋糕隨著時間的推移變質）
我遇到的問題如下。
讓我們依次定義一個吃蛋糕的問題：
$$ \max_{c_t} \ U(c_t)=\sum_{t=0}^\infty\beta^t\ln(c_t) $$
受制於：
$ \ \ f(k_t)=c_t+x_t $ （資源限制 $ c_t $ 是消費， $ x_t $ 是投資）。
$ \ \ f(k_t)=k_t $ （商品定義為取決於當時的蛋糕大小/資本 $ t $ 表示為 $ k_t $ ).
$ k_{t+1}=(1-\delta)k_t+x_t $ （運動規律）。
$ k_0>0 $ （初始股本）。
處理案件時 $ \delta=1 $ 使用以下貝爾曼方程遞歸求解這個問題相當簡單： $$ v(k_t)=\max_{k_{t+1}} \left{\ln(k_t-k_{t+1})+\beta v(k_{t+1}) \right} $$
然而，如果我們考慮隨著時間的推移“蛋糕變壞”的情況（意味著節省成本），似乎有必要修改標準框架。
這是因為如果我們允許 $ \delta\neq0 $ 我們最終得到了“重新吃”以前吃過的蛋糕的結果。我們如何著手解決這個問題？
您制定生產函式/運動定律的方式似乎將重複計算引入了問題。請注意，將 1 和 2 代入 3 得到： $$ k_{t+1}=(1-\delta)(c_t+x_t)+x_t $$ 其中 t 期間的投資被計算兩次。
正確的運動定律很簡單：
$$ 3. : k_{t+1}=(1-\delta)x_t $$
貝爾曼方程的一般形式是： $$ v(k_t)=\max_{k_{t+1}}\left{\ln\left(k_t-\frac{k_{t+1}}{1-\delta}\right)+\beta v\left(\frac{k_{t+1}}{1-\delta}\right)\right} $$
希望這可以幫助！