貝爾曼方程的結果是什麼
我只是從動態優化開始，雖然我理解定理的證明，但我無法完全理解貝爾曼方程是一個函式、一個以某個數字（因此是一個數字）評估的函式，還是兩者兼而有之。我正在使用 Stokey Lucas 和 Prescot Recursive 方法來研究經濟學動態。他們在第 4.1 和 4.2 章中指出： $ F(x_t,x_{t+1}) $ 這個問題是等價的：
1）順序問題（SP） $ sup_{x_{t+1}}(\Sigma_{t=0}^\infty\beta^tF(x_t,x_{t+1})) $ 英石 $ x_{t+1}\in\Gamma(x_{t+1}) $ 對於所有噸
- 函式方程 (FE) $ \ v(x)= sup_{y\in\Gamma(x)}[F(x,y)+\beta v(y)] $
我不清楚的是：在 1 中，應用 sup 運算符的結果是一個 NUMBER（價值函式的價值為 $ x_0 $ 雖然在 2 中有一個函式方程，但結果是一個函式。作者似乎在談論一個數字（第 4.1 章），但隨後（在第 4.2 章中）他們聲明將收縮映射定理應用於 2 我們得到的解是連續有界函式集中的唯一不動點，因此結果是一個函式
那麼解決方案是數字還是函式？
提前致謝
…應用 sup 運算符的結果是一個 NUMBER…
仔細閱讀。方程是
$$ v(x_0) = \sup_{ {x_t }_{t \geq 1}} \cdots \quad (1) $$ 這定義了一個函式 $ v $ ，稱為價值函式，是一種間接效用函式。對於給定的 $ x = x_0 $ ， 的價值 $ v(x) $ 被定義為 RHS 上的 sup，接管可行序列 $ { x_t } $ .
…有一個函式方程，結果是一個函式…
是的，功能 $ v(\cdot) $ 被定義為 $ (1) $ 滿足函式（Bellman）方程。平等是在功能的意義上。LHS 是 $ v(\cdot) $ 被定義為 $ (1) $ . RHS 是另一個功能 $$ \nu(x) = \sup_{y\in\Gamma(x)}[F(x,y)+\beta v(y)]. $$ 聲稱——動態規劃原則——是它們是相等的， $ v(\cdot) = \nu(\cdot) $ .