接受報價的平均能力條件
在 0 和 1 之間有一個連續的工人。這些工人有能力 $ \alpha\sim U[0,2] $ . 一家公司為他們提供薪水 $ v $ 並且有利潤
$$ \pi = (\rho \alpha-v) n(v) $$
在哪裡 $ n(v) $ 是接受這份工作的工人的比例 $ v $ 和 $ \rho>0 $ 是生產力參數。
如果工資高於外部選項，工人會接受報價 $ 2\alpha^2 $ . 計算公司的預期利潤。
我認為接受這個提議的人的比例是（通過統一的 $ \alpha $ ):
$$ n(v) = \mathbb{P}[2\alpha^2 \leq v] = \mathbb{P}[\alpha \leq \sqrt{v/2}] = \sqrt{v/2}. $$
預期利潤取決於接受程度，預期能力也是如此，因此：
$$ \mathbb{E}[\alpha \vert \alpha \leq \sqrt{v/2}] = \int_0^\sqrt{v/2} \frac{\alpha f(\alpha)}{\mathbb{P}[\alpha \leq \sqrt{v/2}]}d\alpha = \frac{1}{4n(v)}\left[\alpha^2\right]_0^\sqrt{v/2} $$
根據條件機率的定義。
我想再次檢查我在這裡是否正確，並且接受的平均能力不僅僅是介於兩者之間的中點 $ \sqrt{v/2} $ 和 0（即能力在提議的薪水和 0 之間均勻分佈）。我認為這是不正確的，因為接受不是均勻分佈的，以接受為條件會扭曲接受後觀察到的能力分佈。
如果 $ \alpha \sim U $ ，那你的利潤函式怎麼沒有期望呢？這 $ \alpha $ 是未知的，哪個 $ \alpha $ - 公司獲得的類型取決於薪水 $ v $ . 這應該反映在利潤函式中。
接下來，您的 $ n(v) $ 似乎認為 $ \alpha \sim U[0,1] $ ，但你設置 $ \alpha \sim U[0,2] $ . 我認為這是一個錯字，我編輯了你的問題。否則，你需要劃分你的 $ n(v) $ 2，因為你的密度是 $ \frac{1}{2} $ 而不是 1。這個上限無論如何都會取消。
對於任何均勻分佈的 $ \alpha<\widehat v $ ， 你有 $$ \mathbb{E}[\alpha \vert \alpha \leq \widehat v] = \int_0^{\widehat v} \alpha \frac{1}{\widehat v}d\alpha = \left[\frac{1}{2\widehat v}\alpha^2\right]_0^{\widehat v}= \frac{\widehat v}{2} $$ 在你的情況下，它是 $ {\widehat v}=\sqrt{v/2} \Rightarrow \mathbb{E}[\alpha \vert \alpha \leq \sqrt{v/2}] = \sqrt{v/8} $ . 如果 $ \alpha \sim U[0,x] $ 那麼密度是 $ 1/x $ , 但你也考慮 $ \alpha<\widehat v $ 除以 $ \widehat v/x $ 這樣 $ x $ 取消。
因此，您的預期利潤函式為 $$ \mathbb{E}[\pi(v)] = (\rho \sqrt{v/8}-v)\sqrt{v/2}. $$
接受不會扭曲分佈。低於截止值的所有類型都接受，所有其他類型都拒絕。因此，以接受為條件的分佈在截止之前是均勻的。
如果你更換你的 $ n(v) $ 經過 $ n(v)/2 $ ，考慮到上限 2，你會得到相同的結果。