具有兩種勞動力類型的 CES 一階條件
我正在努力通過 Cobb-Douglas 生產函式和具有兩種勞動力（這裡是男性和女性，但技能低和高技能）的 CES 勞動力聚合器在這個模型中推導出一階。
設置：Cobb-Douglas 生產函式 $$
Y = A K^{\alpha}L^{(1-\alpha)} \tag{1}\label{1} $$ 在哪裡 $ K $ 是資本和 $ L $ 是勞動力，並且 $ A $ 全要素生產率。有兩種類型的勞動力 $ i \in {F,M} $ 以恆定的替代彈性聚合 $$
L = \left[(1-\lambda) (a_M M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} +\lambda(a_F F)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} \tag{2}\label{2} $$ 在哪裡 $ \sigma $ 表示之間的替代彈性 $ M $ 和 $ F $ , $ a_M $ 和 $ a_F $ 是生產力項，並且 $ \lambda $ 是共享參數。結合這兩個方程給出 $$
Y = A K^{\alpha} \left[(1-\lambda) (a_M M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} +\lambda(a_F F)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}} \tag{3}\label{3} $$解決方案：設置勞動的邊際產品等於工資應該給 $$
W^{F} = (1-\alpha)\lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{-\alpha} \times \left[ (1-\lambda) \left( \frac{A_MM}{a_FF}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\lambda \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} \tag{4.1}\label{4.1} $$ $$
W^{M} = (1-\alpha)(1-\lambda) a_M A K^{\alpha} (a_MM)^{-\alpha} \times \left[ (1-\lambda) \left( \frac{A_FF}{a_MM}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} \tag{4.2}\label{4.2} $$步驟：所以，我想得到方程的焦點 $ \eqref{3} $ 獲得每種勞動的邊際產品並為每個動力支架做雙鏈規則，但我的結果似乎並沒有簡化到它應該的樣子。 $$
\frac{\partial Y}{\partial F} = (1-\alpha) \lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{\frac{-1}{\sigma}} \times \left[(1-\lambda) (a_MM)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} + \lambda(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} $$編輯：為錯誤編輯了 FoC。為了結束這個，我在這裡按照答案中的建議進行簡化（希望沒有錯別字）： $$
= (1-\alpha) \lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{\frac{-1}{\sigma}} \times \left[\left((1-\lambda) (a_MM)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} + \lambda(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}}\right) \times \frac{(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}}}{(a_FF)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}}} \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} $$$$
= (1-\alpha) \lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{\frac{-1}{\sigma}} \times \left[(1-\lambda) \left(\frac{A_MM}{a_FF}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+ \lambda \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} \times (a_FF)^{\frac{1-\alpha \sigma}{\sigma}} $$$$
= (1-\alpha)\lambda a_F A K^{\alpha} (a_FF)^{-\alpha} \times \left[ (1-\lambda) \left( \frac{A_MM}{a_FF}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\lambda \right]^{\frac{(1-\alpha)\sigma}{\sigma-1}-1} $$資料來源：Cahuc, P.、Carcillo, S. 和 Zylberberg, A. (2014)。勞動經濟學。麻省理工學院出版社。第3章
Acemoglu, D.、Autor, DH 和 Lyle, D. (2004)。婦女、戰爭和工資：女性勞動力供給對本世紀中葉工資結構的影響。政治經濟學雜誌，112（3），497-551。
簡單地乘除一 $ \left(a_{F} \boldsymbol{F}\right)^{\frac{(\sigma-1)}{\sigma}} $ 在支架中，然後在支架外取一個。順便說一句，你的 FOC 是不正確的 $ \frac{\sigma}{(\sigma-1)} $ 應該取消。