求職模型中的導出價值函式
我正在使用具有功能的通用求職框架閱讀論文 $ \begin{aligned} &V_{r}\left(e_{r}\right)=w_{r}-e_{r}+\beta\left(q V_{u}+(1-q) V_{r}\left(e_{r}\right)\right) \ &V_{r}\left(e_{o}\right)=w_{r}-e_{o}+\beta\left(q V_{u}+(1-q) V_{r}\left(e_{o}\right)\right)-\beta \sigma\left(V_{r}\left(e_{o}\right)-V_{u}\right) \ & V_{u}=\bar{w}{o}+\beta\left(n{r} \max \left{V_{r}\left(e_{r}\right), V_{r}\left(e_{o}\right)\right}+\left(1-n_{r}\right) V_{u}\right) \end{aligned} $ .
然後，該論文得出了引起高度努力的最低固定工資 $ e_r $ : $ \begin{aligned} w_{r}\left(n_{r}\right) &=\min \left{w_{r} \mid V_{r}\left(e_{r}\right) \geq V_{r}\left(e_{o}\right)\right} \ &=e_{r}+\bar{w}{o}+\frac{\left(1-\beta\left(1-q-n{r}\right)\right)\left(e_{r}-e_{o}\right)}{\beta \sigma} . \end{aligned} $ .
模型的含義在這裡並不重要，我只是對這裡的推導感到困惑。它似乎只是三個未知數和三個方程，但當我這樣做時，我發現方程很快變得複雜，我無法得到上面的簡單結果。在這種情況下進行推導有什麼有用的規則嗎？
請注意， $ w_r(n_r) $ 將是這樣的 $ V(e_r) = V_r(e_0) $ 所以我們可以把它等於 $ V_r $ . 那麼這三個條件是 $$ \begin{align*} &V_r = w_r - e_r + \beta (q V_u + (1 - q) V_r) \tag{1}\ &V_r = w_r - e_0 + \beta (q V_u + (1 - q) V_r) - \beta \sigma(V_r - V_u) \tag{2}\ &V_u = \bar w_0 + \beta (n_r V_r + (1 - n_r) V_u) \tag{3} \end{align*} $$
重寫這些我們得到： $$ \begin{align*} &V_r(1 - \beta) = w_r - e_r + \beta q(V_u - V_r) \tag{1}\ &V_r(1 - \beta) = w_r - e_0 + \beta(q + \sigma)(V_u - V_r) \tag{2}\ &V_u(1 - \beta) = \bar w_0 - \beta n_r(V_u - V_r) \tag{3} \end{align*} $$ 取兩者之間的區別 $ (1) $ 和 $ (2) $ 和之間 $ (1) $ 和 $ (3) $ 給出： $$ \begin{align*} &0 = e_0 - e_r - \beta \sigma(V_u - V_r) \tag{4}\ &(V_r - V_u)(1 - \beta) = w_r -e_r - \bar w_0 + \beta(q + n_r)(V_u - V_r) \tag{5} \end{align*} $$ 等效地： $$ \begin{align*} &V_r - V_u = \frac{e_0 - e_r}{\beta \sigma} \tag{6}\ &(V_r - V_u)(1 - \beta(1 - q - n_r)) = w_r - e_r - \bar w_0 \tag{7} \end{align*} $$ 替代 $ (6) $ 進入 $ (7) $ 給出： $$ w_r = e_r + \bar w_0 + \frac{(1 - \beta(1 - q- n_r))(e_0 - e_r)}{\beta \sigma} $$ 所以除了右手邊第三部分的標誌外，都是一樣的（也許我記錯了？）