Burdett Mortensen (1998) 中價值函式的微分
我目前正在閱讀 Burdett 和 Mortensen 關於求職的經典論文。由於 max 運算符的存在，找到保留工資的表達式應該是一件容易的任務。我們面臨以下貝爾曼方程，用於計算支付工資的工作的價值 $ w $ . 貝爾曼方程是標準的。一份工作報酬的價值 $ w $ 包括工資 $ w $ 加上尋找和找到更好工作的預期收益被工作機會出現的機率打折 $ \lambda_1 $ 加上工作被摧毀時因失業而造成的損失 $ \delta $ . 失業的價值 $ V_0 $ 包括失業救濟金 $ b $ 加上被聘用的預期收益被報價出現的機率打折 $ \lambda_0 $ . 請注意，根據某人是否已經就業或失業，提供報價的可能性會有所不同。報價的分佈由下式給出 $ F $
$$ \begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max{V_1(w),V_1(\tilde{x})}-V_1(w)\bigg];dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation} $$ $$ \begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max{V_0,V_1(\tilde{x})};dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation} $$自從 $ V_1(w) $ 正在增加 $ w $ 和 $ V_0 $ 獨立於它，我們知道存在保留工資，如果 $ w>R\implies V_1(w)>V_0 $ , $ w<R\implies V_1(w)<V_0 $ 和 $ V_1(R)=V_0 $ . 標準參數（按部分集成）表明$$ \begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1’(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})];d\tilde{x} \end{equation} $$從這裡我想對第一個方程求導並求解 $ V_1’(w) $ . 但是，如果我使用萊布尼茨積分規則，我需要被積函式是可微的。兩個連續函式的最大值通常在它們相等的地方是不可微的，所以我有一個問題。如果我假設我整合了所有 $ \tilde{x}\geq w $ 然後 $ V_1(\tilde{x})\geq V_1(w) $ （將誘使工人換工作的工資提供）並且結果遵循萊布尼茨規則。但是分配中的工資是不被接受的，這個導數也不會成立。導數是$$ \begin{equation} V’(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation} $$我想我錯過了一些東西，但我不確定是什麼。如果有人能給我任何建議，我將不勝感激。
當你取 a 的積分時 $ \max_{{\cdot}} $ 運算符，我認為您必須將積分拆分為兩個單獨的積分，並對其進行不同的支持。
即使您的價值函式很複雜並且沒有可微性，您也只需要連續性來解決優化問題的解決方案。
這是我的嘗試，我假設支持的絕對上限 $ F $ , $ F(\overline{w})=1 $ ，為簡單起見。
將第一個方程改寫為
$$ \begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation} $$ 藉此 $$ \begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}{II} \ . \end{equation} $$ 條款 $ I $ 和 $ II $ 取消，以便安排給
$$ \begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation} $$ 如果我們應用萊布尼茨規則知道，我們得到 $$ \begin{equation} (\delta +r)V_1’(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1’(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1’(w)[1-F(w)] \ , \end{equation} $$ 從而最後的等式來自 $ F(\overline{w})=1 $ . 解決 $ V_1’(w) $ 給出所需的解決方案。