工資方程的變異數分解
我正在閱讀最近兩篇研究公司間和公司內工資不平等的論文，Barth et al 2016（以下簡稱 BBDF）和Song et al 2019（以下簡稱 SPGBV）。我對這兩篇論文中使用的不同變異數分解方法感到困惑。
這兩篇論文都首先產生了一個簡單的對數工資變異數分解。
BBDF：$$ V(\ln w)=V(s)+V(\varphi)+2 \operatorname{Cov}(s, \varphi)+V(u) $$
SPGBV：$$ \operatorname{var}\left(y_{t}^{i, j}\right)=\operatorname{var}\left(\theta^{i}\right)+\operatorname{var}\left(\psi^{j}\right)+2 \operatorname{cov}\left(\theta^{i}, \psi^{j}\right)+\operatorname{var}\left(\epsilon_{t}^{i, j}\right) $$
在哪裡 $ s $ 或者 $ \theta $ 是人的影響， $ \varphi $ 或者 $ \psi $ 是堅定的影響，並且 $ u $ 或者 $ \epsilon $ 是匹配錯誤。
然而，他們隨後都將這個簡單的分解重寫為更複雜的分解，以某種不同的方式區分公司間組件和公司內組件。
BBDF：$$ V(\ln w) = \underbrace{V(s)(1-\rho)+V(u)}{\text {Within-firm component }} + \underbrace{V(s)\left(\rho+2 \rho{\varphi}\right)+V(\varphi)}{\text {Between-firm component }} $$， 在哪裡 $ \rho=\operatorname{Cov}(s, S) / V(s) $ , $ \rho{\varphi}=\operatorname{Cov}(s, \varphi) / V(s) $ ， 和 $ S $ 被定義為企業預測工資的平均水平 $ (s) $ .
SPGBV：$$ \begin{aligned} \operatorname{var}\left(y_{t}^{i, j}\right)= \underbrace{\operatorname{var}\left(\theta^{i}-\bar{\theta}^{j}\right)+\operatorname{var}\left(\epsilon_{t}^{i, j}\right)}{\text {Within-firm component }} +\underbrace{\operatorname{var}\left(\psi^{j}\right)+2 \operatorname{cov}\left(\bar{\theta}^{j}, \psi^{j}\right)+\operatorname{var}\left(\bar{\theta}^{j}\right)}{\text {Between-firm component }}, \end{aligned} $$
這兩個分解是同一件事，但以不同的方式編寫嗎？我嘗試了一些計算，但未能證明它們是相同的。此外，雖然很清楚 BBDF 如何進行第二次分解（加減一 $ \operatorname{Cov}(s, S) $ 從第一次分解），我不清楚 SPGBV 中的第二個公式來自哪裡？然而，就解釋而言，SPGBV 似乎是一種比 BBDF 更直覺地解釋組件內和組件間的方法。我還想知道將公司間效應和公司內效應分開的分解背後的原理是什麼？
我不熟悉文獻，所以我不能告訴你這兩個分解是否相同。我只能幫你推導。
對於 BBDF 表達式，您可以簡單地通過替換從第二個獲得第一個 $ \rho $ 和 $ \rho_\varphi $ .
對於 SPGBV 表達式，事情有點棘手。讓 $ i $ 代表單位和 $ g $ 組變數（即 $ j $ 在你的等式中）。
我猜是 $$ \bar \theta^g = \dfrac{1}{n_g} \sum_{i \in g} \theta^i $$ 在哪裡 $ n_g $ 是組中的元素數 $ g $ . 讓有 $ N ( = \sum_g n_g) $ 共觀察。讓 $ p_g = \dfrac{n_g}{n} $ 成為的機率 $ \bar \theta^g $ （我認為 $ \dfrac{1}{N} $ 是單位的機率 $ \theta^i $ ).
先看表達式 $ var(\theta^i - \bar \theta^g) $ . 我們可以通過以下方式對其進行分解： $$ var(\theta^i- \bar \theta^g) = var(\theta^i) + var(\bar \theta^g) - 2 cov(\theta^i, \bar \theta^g). $$ 現在，我們可以擴展共變異數項： $$ \begin{align*} cov(\theta^i, \bar \theta^g) &= \frac{1}{N}\sum_{g}\sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta)(\bar \theta^g - \bar \theta),\ &= \frac{1}{N} \sum_g (\bar \theta^g - \bar \theta) \sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta),\ &= \frac{1}{N} \sum_g n_g (\bar \theta^g - \bar \theta)(\bar \theta^g - \bar \theta),\ &= \sum_g p_g(\bar \theta^g - \bar \theta)^2,\ &= var(\bar \theta^g). \end{align*} $$ 這給出了： $$ var(\theta^i - \bar \theta^g) = var(\theta^i) - var(\bar \theta^g) $$ 重寫給出： $$ var(\theta^i) = var(\theta^i - \bar \theta^g) + var(\bar \theta^g). \tag{1} $$ 接下來，我們來看看共變異數項 $ cov(\theta^i, \psi^g) $ . $$ \begin{align*} cov(\theta^i, \psi^g) &= \frac{1}{N} \sum_g \sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta)(\psi^g - \bar \psi),\ &= \frac{1}{N} \sum_g (\psi^g - \bar \psi) \left( \sum_{i \in g} (\theta^i - \bar \theta)\right),\ &= \frac{1}{N} \sum_g (\psi^g - \bar \psi) n_g(\bar \theta^g - \bar \theta),\ &= \sum_g \frac{n_g}{N} (\bar \theta^g - \bar \theta) (\psi^g - \bar \psi),\ &= \sum_g p_g (\bar \theta^g - \bar \theta)(\psi^g - \bar \psi),\ &= cov(\bar \theta^g, \psi^g) \end{align*} $$ 所以： $$ cov(\theta^i, \psi^g) = cov(\bar \theta^g, \psi^g). \tag{2} $$ 替代 $ (1) $ 和 $ (2) $ 進入第一個 SPGBV 條件應該給你第二個。