什麼時候可以一滴時間下標？來自 Angrist 和 Kugler (2003) 的範例
這不是我第一次問自己，但在本文中，他們實際上從一個時間相關的最大化問題開始，然後刪除所有時間下標。
背景：他們有利潤最大化問題，內容為 $$
\Pi = \phi^{t} \sum_{i=0}^\infty \left {f[\theta_{g}(N_t,I_t)] - w_{Nt}N_t - w_{It}I_{t}-\lambda C_N N_{t-1}\right} $$ 在哪裡 $ \Pi $ 是利潤， $ \phi^{t} $ 是折扣因子， $ f[\theta_{g}(N_t,I_t) $ 是輸出， $ N_t $ 和 $ I_t $ 是不同類型的勞動力， $ w_{Nt} $ 和 $ w_{It} $ 各自的工資，以及 $ C_N $ 的解僱成本 $ \lambda $ 每個時期更換的工人。步驟：他們寫道“調整成本是線性的，沒有總體不確定性，因此可以刪除時間下標並將目標簡化為：” $$
\Pi = (1-\phi)^{-1} [f(\theta_{g}) - w_{N}N - w_{I}I- \phi \lambda C_N N ] $$問題：我只知道貝爾曼方程的這一步，你是否將無限視野問題簡化為一個尋找最優策略函式的永恆問題，但這裡似乎只是像這樣降低維度。有沒有人更普遍地知道什麼時候可以簡化這樣的問題？這個問題也讓我更感興趣，因為我看到很多論文基本上立即寫出問題的第 2 版，而不考慮通過時間優化利潤總和。
參考：Angrist, JD, & Kugler, AD (2003)。保護還是適得其反？勞動力市場製度和移民一本地人的影響。經濟雜誌，113(488)，F302-F331。
因為“調整成本是線性的，不存在總體不確定性”，FOC $ N_t $ 是$$ f’\theta g_N(N_{t}, I_{t}) - w_N = \phi \lambda C_N $$. 請注意，這對於每個時期都是完全相同的形式。同樣適用於 $ I_t $ . 這意味著企業將在所有時期選擇相同的勞動力投入。換句話說，公司在這個動態優化問題中立即進入穩定狀態。當存在總體不確定性時，情況並非如此，因此 $ w $ s 可以隨時間變化或調整成本是非線性的，例如 $ C_N(N_t-N_{t-1}). $
因此，每個時期的利潤是恆定的。因此貼現利潤的現值為$$ \Pi= \frac{\left[f\left(\theta_{g}\right)-w_{N} N-w_{I} I-\phi \lambda C_{N} N\right]}{1-\phi} $$.