動量 - 統計參數
在他們的開創性論文中，Jegadeesh 和 Titman (1993)開發了一個統計模型來推斷矩的來源。
在實踐中，他們設置了以下內容：
$r_{it}=\mu_i + b_i f_t +e_{it}$
$E(f_t)=E(e_{it})=cov(e_{it},f_t)=cov(e_{it},e_{j,t-1})=0$。
動量的含義是：
$E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})]>0$
從上面的等式他們得到：
$E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})]=\sigma^2_\mu+\sigma^2_bCov(f_t,f_ {t-1})+\bar{\text{Cov}}(e_{it},e_{it-1})$
這就是上述論文的等式（3）。有誰知道他們是怎麼得到這個的？
編輯：我想我已經接近答案了：
$E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})]=E[r_{it} r_{it-1}]- E[r_{it}]E[r_{it-1}] = E[(\mu_i + b_i f_t +e_{it})(\mu_i + b_i f_{t-1} +e_{it-1}) ]-\mu_i^2=E[\mu_i^2+\mu_ibf_{t-1}+\mu_ie_{it}+bf_t\mu_i+b^2f_tf_{t-1}+bf_te_{it-1}+\mu_ie_ {it-1}+bf_{t-1}e_{it-1}+e_{it}e_{it-1}]-\mu_i^2=E[\mu_i^2+b^2f_tf_{t-1 }+e_{it}e_{it-1}]-\mu_i^2$
我現在不確定：
1）為什麼我可以從期望中排除 $b^2f_tf_{t-1}=\sigma^2_bCov(f_t,f_{t-1})$
2）為什麼最後一個共變異數上方有一個條形
- $\mu_i^2$ 術語發生了什麼？
初步的
這個奇妙的問題與學術研究中精確定義和仔細寫作的必要性直接相關：關於您使用的框架，您要求的分解有**兩種不同的解決方案。**因此，對文獻進行膚淺的研究并快速比較公式會導致混亂，尤其是在這種情況下。
經濟影響
Jegadeesh 和 Titman (1993)中動量的含義是 $$E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})]>0 $$
即在一個時期產生高於平均回報的股票，在隨後的時期也產生高於平均回報的股票。需要注意的是，變數上方的條形表示其橫截面平均值，而不是時間序列平均值（第 71 頁）。
上面的公式描述了一種交易策略，它通過股票過去的收益減去過去的等權指數收益來加權股票，即 $r_{it-1}-\bar{r_{t-1}}$ 是加權 $\omega_{ i,t}$ 為股票 $i$ 在當期的超額收益。Jegadeesh 和 Titman (1990) p。71 狀態：
上述橫截面共變異數等於 Lehman (1990) 和 Lo 和 MacKinlay (1990) 檢驗的零成本逆向交易策略的預期利潤，該策略按股票過去的收益減去過去的等權指數收益對股票進行加權。
所以事實上，你必須遵循這個策略，分析一個多元化的股票組合，做多過去的“贏家”，做空過去的“輸家”，並根據過去的回報對股票進行加權。更遠：
這種加權相對強度策略 (WRSS) 與我們的策略密切相關。
請牢記這一點。稍後我將討論他們的策略與 WRSS 的區別。現在讓我們正式確定他們的投資策略。
如何不從 Jegadeesh 和 Titman (1993) 推導出方程 (3)
考慮一下您對范圍廣泛的 N 美元股票進行等權投資。股票收益的橫截面均值等於市場收益，因此 $$\bar{r_{t-1}} = \sum_{i=1}^{N}{\frac{r_{it-1 }}{N}} = r_{mt-1}$$ 其中 $r_{mt-1}$ 是 $t_{-1}$ 中的等權市場回報。
他們的方程式（3）
$$E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})]>0$$
適用於任何回報 $r_{i}$（如果 $i$ 提供動量，則適用於股票 $i$）。你需要看的是這個公式在市場均衡中的橫截面應用，基於收益產生過程
$$r_{it}=\mu_i + b_i f_t +e_{it}$$ $$E(f_t)=E(e_{it})=Cov(e_{it},f_t)=Cov(e_{it} ,e_{j,t-1})=0$$
其中 $\mu_i$ 是證券 $i$ 的無條件預期收益，$f_t$ 是因子模擬投資組合的無條件意外收益，$e_{it}$ 是在 $t$ 時公司特定的收益部分，$b_i$ 是證券 $i$ 的因子敏感性。
投資於 $N$ 個股票的多元化策略的利潤 $\pi_t$ 是
$$\pi_t = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\omega_{i,t} \cdot r_{i,t}}$$
回報權重 $\omega_{i,t} = r_{it-1}-\bar{r_{t-1}}$。權重 $\omega_{i,t}$ 對股票是正數，在 $t_{-1}$ 中是“贏家”（相對於 $r_{mt-1}$），對於“輸家”是負數。當權重總和為零時，您的套利投資組合成本為零。如果存在“動量異常”，則超額收益 $\pi_t^e = \pi_t - r_{mt}$ 應該在統計上顯著不同於零。
讓我們繼續分析利潤 $\pi_t$ 並將其分解：
$$\pi_t = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\left(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}} \right) \cdot r_{i,t}}$$
$$=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{r_{it-1}r_{it}} - \frac{1}{N} \sum_{i=1} ^{N}{r_{mt-1} r_{i,t}}$$
$$= \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{r_{it-1}r_{it}} \right)- {r_{mt-1}r_{ m,t}}$$
重新安排並採取無條件預期收益率
$$E[\pi_t] = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{E[r_{it-1}r_{it}}] \right)- E [{r_{mt-1}r_{m,t}}]$$
$$= \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{Cov(r_{it-1},r_{it}}) + \mu_i^2 \right)- Cov({r_{mt-1},r_{m,t}}) - \mu_m^2$$
$$= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{Cov(r_{it-1},r_{it}}) + \frac{1}{N} \sum_{ i=1}^{N}{\mu_i^2} - Cov({r_{mt-1},r_{m,t}}) - \mu_m^2$$
$$= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{Cov(r_{it-1},r_{it}}) + \frac{1}{N} \sum_{ i=1}^{N}{(\mu_i-\mu_m)^2} - Cov({r_{mt-1},r_{m,t}})$$
第一項描述了單個證券的一階自共變異數的橫截面平均值，可以重寫為 $\bar{\text{Cov}}(e_{it},e_{it-1})$ . 第二項描述了平均收益的橫截面變異數，可以表示為$\sigma^2_\mu$。所以我們有
$$ E[\pi_t] = \bar{Cov(e_{it},e_{it-1})} + \sigma^2_\mu - Cov({r_{mt-1},r_{m,t} })$$
第三項是等權市場指數的一階自共變異數。進一步在等式。(4), Jegadeesh 和 Titman (1993) 指出*
$$Cov(\bar{r_t},\bar{r_{t-1}}) = \bar{b_i}^2 Cov(f_t,f_{t-1})$$
這是一個近似值，假設隨著指數中的股票數量變得任意大，$e_{it}$ 的序列共變異數對等權指數的序列共變異數的貢獻變得任意小。由於 $\bar{r_t}$ 是等權市場投資組合的回報，因此 $$Cov(\bar{r_{mt}},\bar{r_{mt-1}}) = \bar{ b_i}^2 Cov(f_t,f_{t-1}).$$
術語 $\bar{b_i}^2$ 描述了因子載荷的橫截面變異數，所以最後你得到
$$ E[\pi_t] = \bar{Cov(e_{it},e_{it-1})} + \sigma^2_\mu - \sigma_b^2 Cov(f_t,f_{t-1})$ $
為什麼第三項是負數，我如何最終從 Jegadeesh 和 Titman（1993）推導出方程（3）？
首先，不要擔心負號：$E[\pi_t]$ 的上述等式與Jegadeesh 和 Titman (2002)自己在等式中使用的完全相同。（3）（2002 年的論文！）- 使用不同的觀點。在頁。他們聲稱這篇論文的 145
Jegadeesh 和 Titman 的交易策略買入過去回報率最高的十分位股票，賣出過去回報率最低的十分位股票。買賣組合中的股票在 Jegadeesh 和 Titman 策略中的權重相同。然而，為了理解動量利潤的來源，考慮最初由 Lo 和 MacKinlay (1990) […] 提出的加權方案在分析上更方便。
所以上述分解參考了 Lo/MacKinlay (1990) 的分解。實證研究中使用的方法（例如投資組合排序）通常基於計算它們的相對超額收益，但
動量文獻可以分為兩個流派：
- DeBondt 和 Thaler (1985) 以及 Jegadeesh 和 Titman (1993) 提出的相對強度策略 (RSS)。
- 加權相對強度策略 (WRSS)，由 Lo 和 MacKinlay (1990) 以及 Conrad 和 Kaul (1998) 提出。
當我們進行加權時
$$\pi_t = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\omega_{i,t} \cdot r_{i,t}}$$
我們遵循（最初的）WRSS 方法。然而，RSS 考慮的是目前時期的股票超額收益，即您對 $r_{it}-\bar{r_{t}}$ 感興趣，而不是 $r_{it}$。記住 Jegadeesh/Titman (1990) p。71：
這種加權相對強度策略 (WRSS) 與我們的策略密切相關。
僅當您忽略目前時期的超額收益時，WRSS 方法（根據 Lo/MacKinlay）才等於 Jegadeesh/Titman (1990) 的方法。但這不是 Jegadeesh/Titman 在第 72 頁所指的內容：
[…] 表達式 (2) 中給出的 WRSS 利潤 […]
然而，表達式 (2) 是
$$E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})]>0$$
並明確考慮了當期的超額收益，這使得他們的方法與最初的 WRSS 方法不同。這就是在閱讀其他論文時導致混淆的原因：Jegadeesh/Titman (1993) 也將其稱為 WRSS，他們的方法與最初的 WRSS 方法（在數學上略有不同，但實際上是實質性的）不同。
所以考慮當期的超額收益會導致
$$E\left[\pi_t^{RSS}\right]=E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})] = E\left[\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\omega_{i,t} \cdot \left( r_{it}-\bar{r_{t}} \right)}\right]$$
這導致較小的代數重新排列到
$$E[\pi_t^{RSS}]=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\left( E[r_{it-1}r_{it}] - E [r_{mt-1}r_{mt}] \right)}$$
採取無條件預期收益率
$$E[\pi_t^{RSS}]= \left[ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{\mu_i^2} + \frac{1}{N} \ sum_{i=1}^{N}{\beta_i^2 Cov(f_t,f_{t-1})} + \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}{Cov( \epsilon_t,\epsilon_{t-1})}\right]- \left[ \mu_m^2 + \beta_m^2 Cov(f_t,f_{t-1}) +\frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N}{Cov(\epsilon_t,\epsilon_{t-1})} \right]$$
$$= \sigma_\mu^2 + \sigma_\beta^2 Cov(f_t,f_{t-1}) + \frac{N-1}{N^2} \sum_{i=1}^{N }{Cov(\epsilon_t,\epsilon_{t-1})}$$
第三項等於單個證券的一階自共變異數的橫截面平均值，所以在重新排列後你得到
$$ E[(r_{it}-\bar{r_t})(r_{it-1}-\bar{r_{t-1}})] = \bar{Cov(e_{it},e_{it -1})} + \sigma^2_\mu + \sigma_b^2 Cov(f_t,f_{t-1})$$
這是您要求的方程式。
附加說明
- 如果您通過“動量研究人員”的眼光閱讀 WRSS 方法的文獻，則必須再次轉換符號，因為該策略植根於對逆向投資策略的分析，即 Lo/MacKinlay (1990) p。6：
[…]，考慮在 $tk$ 時買入在 $tk$ 時為**“輸家”的股票，並在 $tk$ 時賣出在 $tk$ 時為“贏家”**的股票，[…]。
如果你在這個框架內轉換符號，這就是動量策略的經濟等價物。
- Dittmar/Kaul/Lei (2007)提供了關於如何分解基於動量的投資組合收益的稍微更全面的表示，並且在本博士論文中提供了更詳細的說明（第 21 頁）。
- Campbell/Lo/MacKinlay (1997), pp. 74-78 提供了有關推導方程 (4) 的進一步計算。
參考
Campbell/Lo/MacKinlay (1997)，金融市場計量經濟學，編輯。2、普林斯頓大學出版社。
Conrad/Kaul (1998)，交易策略剖析，金融研究評論，卷。11（3）。
DeBondt/Thaler (1985)，股票市場是否反應過度？，金融雜誌，卷。40（3）。
Dittmar/Kaul/Lei (2007)，Momentum is Not an Anomaly，可在 SSRN 獲得：https ://ssrn.com/abstract=1027057
Jegadeesh/Titman (1993)，買入贏家和賣出失敗者的回報：對股市效率的影響，金融雜誌，卷。48（1）。
Jegadeesh/Titman (2002)，動量回報的橫截面和時間序列決定因素，金融研究評論，卷。15（1）。
雷曼 (1990)，時尚、鞅和市場效率，經濟學季刊，卷。105 .
Lo/MacKinlay (1990)，什麼時候因股市過度反應而獲得反向利潤？，金融研究評論，第 1 卷。3（2）。