如果兩種法定貨幣的供應量已知，什麼決定了兩種法定貨幣的匯率？
在這篇博文中，經濟學家 Steve Landsburg 提出了一個他不知道答案的關於比特幣價值的問題。
想像一個未來，比特幣（或其他一些非政府貨幣）被廣泛接受並且很容易替代美元，匯率為（比方說） $ X $ 每比特幣美元。
那麼如果有 $ M $ 美元和 $ B $ 流通中的比特幣，貨幣供應量（以美元計）是有效的 $ M + X B $ .
貨幣需求大概是 $ P D $ ， 在哪裡 $ P $ 是一般價格水平和 $ D $ 取決於交易量和社區的支付習慣等因素。（如果有幫助，我們可以寫 $ D = T/V $ 在哪裡 $ T $ 是交易量和 $ V $ 是貨幣流通速度。）
貨幣市場的均衡要求供給等於需求，所以
$ M + X B = P D $
現在 $ M $ 由貨幣當局決定； $ B $ 由比特幣算法確定，並且 $ D $ 如上所述，是在貨幣市場之外確定的。
這給我留下了兩個變數（ $ X $ 和 $ P $ ) 但只有一個方程。是什麼確定了這些變數的值？
正如他在括號中所暗示的那樣，這不是比特幣特有的問題，而是完美替代美元的非政府貨幣的普遍問題。
那麼有人知道蘭茨堡問題的答案嗎？是否有任何模型可以闡明決定匯率的因素 $ X $ 和價格水平 $ P $ 在這樣的情況下？
當有其他貨幣可以完美替代美元時，沒有任何好的方法可以恢復數量論——所以從這個意義上說，蘭茨伯格的問題沒有任何答案。事實上，在完全可替代性下，數量論的不相關性——這在理論上一直很清楚——最近已成為現實，因為一旦名義利率達到零，準備金就成為其他短期名義資產的完美替代品。
說了這麼多，我想說兩點。
1. 任何不完美的可替代性都拯救了數量論。
假設我們用更一般的形式替換 Landsburg 量論方程的左邊
$$ F(M,XB) = PD $$在哪裡 $ F $ 是一種同質的生產函式，它使用貨幣生產聚合的“貨幣服務” $ M $ 和比特幣（以金錢表示的價值） $ XB $ . Landsburg 方程對應於完全替代的情況， $ F(M,XB) = M+XB $ . 事實上，Landsburg 的表述中隱含了另一個假設，即 $ X $ 隨著時間的推移是恆定的，或者，如果 $ X $ 不同，比特幣相對於貨幣的風險調整後預期回報為零：否則，鑑於它們具有相同的交易價值，你會嚴格選擇持有最高回報的其中之一。為了簡單起見，我將繼續假設這個假設成立——但請記住，在一個成熟的動態模型中，允許回報不同並且個人在此基礎上進行替代可能會內生地產生蘭茨堡尋求的額外方程。
如果貨幣和比特幣具有相同的回報，那麼任何持有它們的人都會希望將兩者的邊際交易價值等同起來，設置 $ F_M=F_{XB} $ . 這適用於任何相對數量的 $ M $ 和 $ XB $ 在 Landsburg 的完美替代方案中，這就是他掙扎的原因，但對於一般（同質） $ F $ 它只會維持一個比率 $ M/XB $ 兩者中。這將抑制相對需求。
例如，如果 $ F $ 是科布-道格拉斯，與 $ F(M,XB) = M^\alpha (XB)^{1-\alpha} $ ， 然後 $ F_M = \alpha F/M $ 和 $ F_{XB} = (1-\alpha)F/XB $ , 並將兩者等同起來給了我們 $ M/XB = \alpha/(1-\alpha) $ . 認為 $ \alpha=1/3 $ . 然後我們有 $ XB = 2M $ , 求解 $ P $ 從 $ M $ 和 $ D $ :
$$ F(M,XB)=PD\Longleftrightarrow M^{1/3} (2M)^{2/3} = PD\Longleftrightarrow P = 2^{2/3}\frac{M}{D} $$ Cobb-Douglas 只是我用於說明目的的一種參數化，但我們同樣能夠解決，只要 $ F $ 之間的邊際替代率下降 $ M $ 和 $ XB $ - 這將是真的，例如，如果 $ M $ 和 $ XB $ 幾乎是完美的替代品，但不完全是。從這個意義上說，Landsburg 的完美替代案例非常不通用：法定貨幣和比特幣絕對不可能在所有應用中成為完美替代。 順便說一句，兩種形式的貨幣以一種不完全可替代的方式結合起來提供整體貨幣服務的想法不僅僅是我虛構的——你可以在文獻中的許多地方看到這樣的假設，比如等式 (3 ）在愛爾蘭（2011 年）。
2. 中央銀行可以通過其他方式確定物價水平，即使沒有數量論。
現代貨幣政策觀點認為，真正重要的是央行設定短期利率的能力。傳統上，這是通過公開市場操作改變貨幣供應來實現的，但情況並非如此。事實上，伍德福德的規範文本表明，即使在沒有貨幣需求的“無現金”世界中，如何實施貨幣政策也是可能的：中央銀行只是為貨幣支付利息。（順便說一句，當你試圖通過寫下一個動態的、內部一致的模型來微觀地建立“數量理論”方程時，這個結果很難逃脫：你意識到數量理論通過利率對貨幣的反應在一般均衡中執行,
事實上，我們一直在接近伍德福德的假設世界：例如，當美聯儲決定在未來幾個月加息時，其選擇之一將是提高準備金利率，同時保持其擴大的資產負債表完好無損。
從這個角度來看，Landsburg 的觀察並不是很相關。中央銀行致力於物價穩定，它將通過調整利率以應對通脹與趨勢的偏差來執行這一點。如果它可以通過傳統的調整方法來調整利率 $ M $ 通過公開市場操作，太好了。但如果它不能做到這一點（因為我們生活在蘭茨堡的完美替代世界中），那麼中央銀行將通過改變它支付的準備金利息來調整名義利率，並最終完成完全相同的事情。
我的猜測是 $ \Delta B $ ，在給定年份引入經濟體的比特幣數量（您可以從比特幣的價值和比特幣算法的特徵中獲得）和 $ \Delta S $ （美元也是如此，假設由美聯儲提供）應該驗證 $ B/S = \Delta B / \Delta S $ ，否則人們會決定將流動性保留在不太寬鬆的貨幣中以避免貶值。