關於納什均衡的問題
我在納什均衡方面遇到了一些麻煩。具體問題如下。
假設有 $ 2N $ 村里的人，其中 $ N $ 居民住在一區，每個人選擇養 $ q_1 $ 羊，每隻羊的成本為 $ c_1 $ . 另外，n人住在二區，每個人選擇養 $ q_2 $ 羊。一隻羊的成本是 $ c_2 $ . 每隻羊帶來的收入是 $ 200-q $ ， 在哪裡 $ q $ 是村里的羊總數。
問：求這個博弈的納什均衡下兩個地區每個居民飼養的羊的數量。
這是我的想法。為簡單起見，讓 $ I $ 表示第一區個人的索引集，類似地， $ II $ 為二區。
為了 $ \forall i\in I $ , 利潤最大化問題是 $$ \begin{equation} \max_{q_i} \pi_i=(200-q_i-\sum_{k\neq i,\i\in I}q_k-\sum_{l\in II}q_l)q_i-c_1q_i\ F.O.C\qquad \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i}=200-2q_i-\sum_{k\neq i\k\in I}q_k-\sum_{l\in II}q_l-c_1=0\ BR_{q_i}(q_{-i})=q_i=100-\frac{1}{2}\sum_{k\neq i\k\in I}q_k-\frac{1}{2}\sum_{l\in II}q_l-\frac{1}{2}c_1 \end{equation} $$
同樣，對於 $ \forall j\in II $ , 我們有最好的反應函式 $$ \begin{equation} BR_{q_j}(q_{-j})=q_j=100-\frac{1}{2}\sum_{k\in I}q_k-\frac{1}{2}\sum_{l\neq j\l\in II}q_l-\frac{1}{2}c_2 \end{equation} $$
由於屬於同一區域的每個人都處於相同的情況，我們可以假設 $$ \begin{align} \begin{cases} q_i^=a, &\forall i\in I\ q_j^=b, &\forall j\in II \end{cases} \end{align} $$ 然後將其代入最佳反應函式，我們有 $$ \begin{align} \begin{cases} (N+1)a+Nb=200-c_1\ Na+(N+1)b=200-c_2 \end{cases} \end{align} $$ $$ \begin{align} \begin{cases} a=\frac{ \begin{vmatrix} 200-c_1 & N\ 200-c_2 & N+1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} N+1 & N\ N & N+1 \end{vmatrix}}\ b=\frac{ \begin{vmatrix} N+1 & 200-c_1\ N & 200-c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} N+1 & N\ N & N+1 \end{vmatrix}} \end{cases} \end{align} $$
我不知道我做的對不對，我會在假設有一個內點解的情況下解決它。我認為如果嚴格證明，成本 $ c_1,c_2 $ 可以考慮。
從對稱性我們可以說對於每個玩家 $ i $ 在 $ I $ , $ q_r=q_k $ $ \forall r,k \in I $ . 同樣對於 $ II $ . 讓它成為 $ q_I $ 對於生產者 $ I $ 和 $ q_{II} $ 為了 $ II $ .
所以個人的利潤函式 $ i $ 在 $ I $ : $$ \begin{align} \max_{q_i} \pi_i&=(200-(N-1)q_I-Nq_{II}-q_i))q_i-c_1q_i\ \text{FOC: },,\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i}&=200-(N-1)q_I-Nq_{II}-q_i-q_i-c_1=0 \ \implies q_i^*(q_I,q_{II})&=\frac{200-Nq_{II}-c_1-(N-1)q_I}{2} \end{align} $$
同樣，我們將得到個人 $ j $ 在 $ II $ :
$$ q_j^*(q_I,q_{II})=\frac{200-Nq_I-c_2 - (N-1)q_{II}}{2N} $$
在 NE，我們知道 $ q_i^=q_I^ $ 和 $ q_j^*=q_{II} $ . 使用這個：
$$ \begin{align} q_I^&=\frac{200-Nq_{II}^-c_1-(N-1)q_I^}{2} \ &=\frac{200-Nq_{II}^-c_1}{N+1} \end{align} $$
所以，$$ q_{II}^=\frac{200-Nq_{I}^-c_2}{N+1} $$
解決 $ q_I^* $ :
$$ \begin{align} (N+1)q_I^&=200-N\frac{200-Nq_I^-c_2}{N+1}-c_1 \ \implies q_I^* &=\frac{200-c_1+N(c_2-c_1)}{2N+1} \end{align} $$ 相似地，$$ q_{II}^* =\frac{200-c_2+N(c_1-c_2)}{2N+1} $$