在拍賣環境中爭論貝氏-納什均衡的唯一性
在具有相互依賴的價值的拍賣環境中，讓 $ \theta_i $ 表示播放器的類型 $ i $ 和 $ m_i $ 該玩家的資訊（本質上是出價）。我計算出的最佳響應函式為：
$$ m_i^* = \theta_i + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j) $$ 那麼，顯然，各方都說真話（ $ m_k = \theta_k $ 對全部 $ k $ ) 是一個對稱的 BNE，無論 $ \gamma $ . 我還想爭辯說它是獨特的 BNE。如果 $ \gamma = 1 $ ，如果只有兩名球員，其中一名球員的正面誤報（ $ m_i - \theta_i $ ) 將等於其他玩家的負面誤報 ( $ \theta_j - m_j $ ）。如果 $ \gamma<1 $ ，看起來講真話的 BNE 是獨一無二的，但我該如何證明呢？ 此外，到目前為止，我還沒有使用常見的先驗假設。我需要在這裡論證說真話的 BNE 的存在，還是論證它的獨特性？如果是這樣，我們可以假設 $ \theta_i $ 均勻地從 $ [0,1] $ .
讓 $ BR=(BR_1,BR_2,BR_3,…) $ 表示最佳響應映射。這給出了給定消息向量的映射 $ m $ . （對於任何 $ BR_i $ 只有非的消息 $ i $ 播放器用於導出最佳響應映射。）
讓 $ m^* = (m_1^,m_2^,m_3^,…) $ 表示對稱平衡。因為它是一個平衡，對於任何 $ i $ 你有 $ BR_i(m^) = m_i^* $ ， 所以
$$ BR(m^) = m^. $$ 假設我們有一個不講真話的均衡 $ m’ $ . 因為這是一個平衡 $$ BR(m’) = m' $$ 所以 $$ \forall i\in N: m_i’ = \theta_i + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’). $$ 重新排列這個 $$ \forall i\in N: 0 = \theta_i - m_i’ + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’). $$ 將所有方程相加得到 $$ \begin{eqnarray*} 0 & = & \sum_i (\theta_i - m_i’) + \gamma \sum_i \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’) \ 0 & = & \sum_i (\theta_i - m_i’) + \gamma \cdot (n-1) \cdot \sum_i (\theta_i - m_i’) \ 0 & = & (1 + \gamma \cdot (n-1)) \cdot \sum_i (\theta_i - m_i’) . \end{eqnarray*} $$ 有兩種方法可以做到這一點。任何一個 $ \sum_i (\theta_i - m_i’) = 0 $ 或者 $ \gamma = -\frac{1}{n-1} $ . 案例 1. 假設 $ \sum_i (\theta_i - m_i’) = 0 $ . 然後從
$$ \begin{eqnarray*} m_i’ & = & \theta_i + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’) \ m_i’ - \theta_i & = & \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’) \ (m_i’ - \theta_i) - \gamma \cdot (m_i’ - \theta_i) & = & \gamma \cdot (\theta_i - m_i’) + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’) \ (1 - \gamma) \cdot (m_i’ - \theta_i) & = & \gamma \sum_{j} (\theta_j-m_j’) = 0. \end{eqnarray*} $$ 在說真話的平衡中，這對所有人都是正確的 $ i \in N $ . 如果 $ \gamma = 1 $ 對於任意數量的參與者，非真實均衡也是可能的，例如 $ n-1 $ 玩家報告他們的類型 $ +1 $ 和一名玩家報告她的類型 $ -n+1 $ . 如果 $ \gamma < 1 $ 並且平衡是不說真話的，那麼這是不可能的。 案例 2. 假設 $ \gamma = -\frac{1}{n-1} $ .
讓 $ x_i $ 表示 $ \theta_i - m_i’ $ , 所以方程組$$ \forall i\in N: 0 = \theta_i - m_i’ + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j’) $$ 變成 $$ \forall i\in N: 0 = x_i + \gamma \sum_{j \ne i} x_j. $$ 為了 $ \gamma = -\frac{1}{n-1} $ 該方程組的矩陣表示是可逆的，因此只有一個解，並且 $ \forall i: x_i = 0 $ 顯然是一個解決方案。這意味著唯一的平衡是說真話的平衡。