拍賣和尋找動態博弈的納什均衡
假設我們有一個拍賣遊戲的順序版本： • 玩家 1 出價。• 玩家 2 觀察玩家 1 的叫價，然後出價。• 出價最高的玩家在拍賣中贏得物品。• 在平局的情況下，獲勝者是隨機確定的（平局的機率相同）。• 獲勝的玩家支付他的出價。兩名玩家競標一瓶稀有的蘇格蘭威士忌。這是一個拍賣，他們可以在其中出價任何金額 $ \Bbb R_+ $ . 假設兩個玩家都將物品估價為 500 英鎊。
求該博弈的所有純策略納什均衡。
提供的答案似乎不太直覺：
- 玩家 1 的策略是出價 500。
- 在 1 出價 500 之後的資訊集合中，玩家 2 的出價在$$ 0, 500 $$.
- 在所有資訊集中，其中 1 出價低於 500 的任何 x1，玩家 2 出價在 (x1, $ \infty $ ).
- 在 1 出價高於 500 的所有資訊集中，玩家 2 出價 $ \Bbb R_+ $ .
我不知何故知道我們不需要考慮順序理性，但是第 4 點是如何遵循的，即 P2 出價 $ \Bbb R_+ $ ?
任何幫助將不勝感激。
讓我們首先確定玩家的動作集。
玩家 1 的動作只是一個叫價 $ x_1 \in \mathbb{R}_+ $ .
玩家 2 的動作是一個函式： $ f_2: \mathbb{R}+ \to \mathbb{R}+ $ 決定了每一個動作 $ x_1 $ 玩家的 $ 1 $ 一種行為 $ x_2 = f_2(x_1) \in \mathbb{R}_+ $ . 讓我們用 $ F_2 $ 玩家 2 的所有動作的集合。
現在讓我們看看回報： $$ \begin{align*} u_1(x_1, f_2) &= \left{\begin{array}{ll} 500 - x_1 &\text{ if } x_1 > f_2(x_1)\ \frac{500 - x_1}{2} &\text{ if } x_1 = f_2(x_1),\ 0 &\text{ if } x_1 < f_2(x_1)\end{array}\right.\ u_2(x_1, f_2) &= \left{\begin{array}{ll} 500 - f_2(x_1) &\text{ if } f_2(x_1) > x_1\ \frac{500 - f_2(x_1)}{2} &\text{ if } x_1 = f_2(x_1),\ 0 &\text{ if } f_2(x_1) < x_1 \end{array}\right. \end{align*} $$
戰略概況 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是所有其他的納什均衡 $ (x_1, f_2) $ $$ u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) \ge u_1(x_1, f_2^\ast),\ u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) \ge u_1(x_1^\ast, f_2). $$
**權利要求 1：**如果 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是納什均衡，如果 $ x_1^\ast < 500 $ ， 然後 $ f_2^\ast(x_1^\ast) \in (x_1^\ast, 500) $ .
證明：假設不是，那麼要麼 $ f_2^\ast(x_1^\ast) \le x_1^\ast $ 或者 $ f_2^\ast(x_1^\ast) \ge 500 $ . 請注意 $ u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) \le 0 $ . 現在採取策略 $ f_2 $ 在哪裡 $ f_2(x_1) = f_2^\ast(x_1) $ 對全部 $ x_1 \ne x_1^\ast $ 和 $ f_2(x_1^\ast) = (500 +2 x_1^\ast)/3 > x_1^\ast $ . 然後： $$ > u_2(x_1^\ast, f_2) = 500 - \frac{500 + 2 x_1}{3} > \frac{500 - x_1^\ast}{2} \ge u_2(x_1^\ast, f_2^\ast), > $$ 與納什均衡的定義相矛盾。
**權利要求 2：**如果 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是納什均衡，如果 $ x_1^\ast = 500 $ ， 然後 $ f_2^\ast(x_1^\ast) \le 500 $ .
*證明：*對矛盾，假設 $ f_2^\ast(x_1^\ast) > 500 $ . 採取策略 $ f_2 $ 在哪裡 $ f_2(x_1) = 500 $ 對全部 $ x_1 $ . 然後： $$ > u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) = 500 - f_2^\ast(x_1^\ast) < 0 = u_2(x_1^\ast, f_2) > $$ 這與納什均衡的定義相矛盾。
**主張 3：**如果 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是納什均衡，如果 $ x_1^\ast > 500 $ 然後 $ f_2^\ast(x_1^\ast) < x_1^\ast $ .
證明： 對矛盾，假設 $ f_2^\ast(x_1^\ast) \ge x_1^\ast $ . 採取策略 $ f_2 $ 在哪裡 $ f_2(x_1) = 500 $ 對全部 $ x_1 $ . 然後： $$ > u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) \le \frac{500 - x_1^\ast}{2} < 0 = u_2(x_1^\ast, f_2). > $$ 這與納什均衡的定義相矛盾
**權利要求 4：**如果 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是納什均衡，那麼 $ x_1^\ast \le 500 $ .
證明：走向矛盾，如果 $ x_1^\ast > 500 $ 那麼我們從權利要求 3 中知道 $ f_2^\ast(x_1) < x_1^\ast $ . 像這樣： $$ > u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) = 500 - x_1^\ast < 0 \le u_1(500, f_2^\ast). > $$ 這與納什均衡的假設相矛盾。
**主張 5：**不存在納什均衡 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 和 $ x_1^\ast < 500 $ .
*證明：*假設 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是一個納什均衡 $ x_1^\ast < 500 $ . 根據權利要求 1，我們知道 $ f_2^\ast \in (x_1^\ast, 500) $ . 採取策略 $ f_2 $ 在哪裡 $ f_2(x_1) = \frac{x_1 + f_2^\ast(x_1)}{2} $ . 請注意 $ f_2(x_1^\ast) > x_1^\ast $ . 然後： $$ > u_2(x_1^\ast, f_2) = 500 - \frac{x_1 + f_2(x_1^\ast)}{2} > u_2(x_1^\ast, f_2^\ast), > $$ 這與納什均衡的假設相矛盾
**主張 6：**不存在納什均衡 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 和 $ x_1^\ast > 500 $ .
*證明：*對矛盾，假設 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是一個納什均衡，並且 $ x_1^\ast > 500 $ . 根據權利要求 3，我們知道 $ f_2^\ast(x_1^\ast) < x_1^\ast $ . 然後： $$ > u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) = 500 - x_1^\ast < 0 = u_1(500, f_2^\ast). > $$ 再次與納什均衡的定義相矛盾
最後兩個定理表明，如果存在納什均衡 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ ， 然後 $ x_1^\ast = 500 $ .
索賠 7如果 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是一個納什均衡，那麼對於所有人 $ x_1 < 500 $ ， 我們有 $ f_2^\ast(x_1) > x_1 $ .
*證明：*對矛盾，讓 $ x_1 < 500 $ 和 $ f_2^\ast(x_1) \le x_1 $ 然後： $$ > u_1(x_1, f_2^\ast) \ge \frac{500 - x_1}{2} > 0 = u_1(x_1^\ast, f_2^\ast), > $$ 與納什均衡的定義相矛盾
權利要求 8戰略概況 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是納什均衡當且僅當它具有以下形式： $$ x_1^\ast = 500,\ f_2^\ast(x_1) = \left{\begin{array}{ll} \in [0,500] &\text{ if } x_1 = 500,\ \in (x_1, + \infty) &\text{ if } x_1 < 500,\ \in \mathbb{R}_+ &\text{ if } x_1 > 500. \end{array}\right. $$
證明： $ (\rightarrow) $ 如果 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是納什均衡，那麼 $ x_1^\ast = 500 $ 由權利要求 5 和 6 得出。接下來， $ f_2^\ast(500) = f_2^\ast(x_1^\ast) \in [0, 500] $ 來自權利要求 2。 $ f_2(x_1) \in (x_1, + \infty) $ 為了 $ x_1 < 500 $ 從權利要求 7 得出。最後， $ f_2^\ast(x) \in \mathbb{R}_+ $ 為了 $ x > 500 $ 很明顯。
$ (\leftarrow) $ 假使，假設 $ x_1^\ast = 500 $ 然後 $ f_2^\ast $ 滿足索賠中的限制。請注意： $ u_1(x_1^\ast, f_2^\ast) = 0 $ 和 $ u_2(x_1^\ast, f_2^\ast) = 0 $ .
另外，對於所有人 $ f_2 \in F_2 $ , $ u_2(x_1^\ast, f_2) \le 0 $ 並為所有人 $ x_1 \in \mathbb{R}_+ $ ， 我們有 $ u_1(x_1) \le 0 $ . 像這樣： $$ > u_2(x_1^\ast, f_2) \le 0 = u_2(x_1^\ast, f_2^\ast),\ > u_1(x_1, f_2^\ast) \le 0 = u_1(x_1^\ast, f_2^\ast). > $$ 所以 $ (x_1^\ast, f_2^\ast) $ 是一個納什均衡。
您只需要獲得納什均衡，而不需要順序理性/子博弈完美均衡。因此，參與者 2 在未發生的資訊集上的行動（不反映參與者 1 的實際策略）不需要是最佳響應。你所要做的就是確保沒有人會因為偏離而變得更好。
在案例 4. 中，無論玩家 2 做什麼，玩家 1 都無法獲得正盈餘；她以高於 500 的出價獲勝或失敗。這對她來說並不比出價 500 輸掉更好。