描述一組包含純策略納什均衡集合的結果
考慮一個遊戲 $ N $ 球員，每個人都被索引 $ i=1,…,N $ . 每個玩家 $ i $ 必須選擇一個 $ J\times 1 $ 動作向量 $ a_i\equiv (a_{i,1},…,a_{i,J}) $ 其中每個 $ a_{i,j} $ 可以是零或一。每個玩家的回報 $ i $ 是 $ u_i(a_i, a_{-i}) $ ， 在哪裡 $ a_{-i} $ 表示其他玩家的動作。
博弈的純策略納什均衡（PSNE）為 $ a^\equiv (a_1^,…,a_N^) $ 解決 $$ (1) \quad a_i^\in argmax_{a_i\in {0,1}^J} u_i(a_i, a^*_{-i}) \quad \forall i=1,…,N $$
請注意，如果 $ a^* $ 是一個 PSNE，那麼 $$ (2) \quad \text{If $a^_{i,j}$=0, then } u_i(a^i, a^*{-i})\geq u_i(a^i+{a{i,j}=1}, a^{-i})\ \quad \quad \text{If $a^*{i,j}$=1, then } u_i(a^_i, a^{-i})\geq u_i(a^i+{a{i,j}=0}, a^{-i})\ \forall i=1,…,N \quad \forall j=1,…,J $$ 在哪裡 $ a^i+{a{i,j}=1} $ 表示 $ a^ $ 在哪裡 $ a^_{i,j}=0 $ 被一個取代； $ a^i+{a{i,j}=0} $ 表示 $ a^* $ 在哪裡 $ a^*_{i,j}=1 $ 被零替換。
**聲明：**假設關係是零機率事件。然後，一個動作配置文件 $ a $ 滿足 (2) 當且僅當 $$ (3) \quad a_{i,j}=1{u_i(a_i+{a_{i,j}=1}, a_{-i})- u_i(a_i+{a_{i,j}=0}, a_{-i})\geq 0}\ \forall i=1,…,N \quad \forall j=1,…,J $$
**問：**讓 $ A $ 是 PSNE 的集合。讓 $ B $ 是一組 $ a $ 滿足（3）。是 $ A\subseteq B $ ? 如果 $ B $ 是空的，那麼 $ A $ 是空的？
條件 3 可以寫成如下方式： $ a^\ast \in B $ 對所有人來說 $ i $ 和所有 $ j $ $$ a^\ast_{i,j} = 1 \iff u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 1}, a^\ast_{-i}) \ge u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 0}, a^\ast_{-i}) $$ 由於沒有聯繫，這可以寫成： $$ a^\ast_{i,j} = 1 \to u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 1}, a^\ast_{-i}) \ge u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 0}, a^\ast_{-i}),\ a^\ast_{i,j} = 0 \to u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 0}, a^\ast_{-i}) \ge u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 1}, a^\ast_{-i}) $$
如果 $ a^\ast $ 是一個納什均衡（即 $ \in A $ )，那麼對於所有人 $ i $ 和所有 $ a_i $ : $$ u_i(a_i^\ast, a_{-i}^\ast) \ge u_i(a_i, a_{-i}^\ast) $$
是 $ A \subseteq B $ ?
是的。讓 $ a^\ast \in A $ . 我們想證明 $ a^\ast \in B $ . 為了表明 $ a^\ast \in B $ ，我們只需要看看偏差在哪裡 $ a_{i,j}^\ast $ 特定的變化 $ j $ . 為此，定義 $ a_i = (a_{i,\ell}|\ell \le J) $ 這樣： $$ a_{i,\ell} = \left{\begin{array}{ll} a^\ast_{i,l} &\text{ if } \ell \ne j\ 1- a_{i,j}^\ast &\text{ if } \ell = j \end{array}\right. $$ 所以 $ a_i $ 不同於 $ a_i^\ast $ 只是因為 $ a_{i,j} $ 切換值（從 1 到 0，反之亦然）。為了表明 $ a^\ast \in B $ ，我們展示了這兩個條件。
- 如果 $ a_{i,j}^\ast = 1 $ ， 我們有：
$$ u_i(a_i^\ast, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 1}, a_{-i}^\ast),\ \ge u_i(a_i, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 0}, a_{-i}^\ast). $$ 不等式來自納什均衡的定義。等式遵循我們如何定義 $ a_i $ .
- 如果 $ a^\ast_{i,j} = 0 $ ， 我們有：
$$ u_i(a_i^\ast, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 0}, a_{-i}^\ast),\ \ge u_i(a_i, a_{-i}^\ast) = u_i(a_i^\ast + {a_{i,j} = 1}, a_{-i}^\ast). $$ 這表明 $ a^\ast \in B $ .
如果 $ B $ 是空的，那麼 $ A $ 是空的？
這是從 $ A \subseteq B $ . 如果 $ B = \emptyset $ 和 $ A $ 是的一個子集 $ B $ 然後立即 $ A = \emptyset $ .
請注意，包含可以是嚴格的，即在某些情況下 $ A \ne B $ . 要看到這一點，請考慮以下情況 $ J = 2 $ 收益表如下。
我們有那個 $ (11,11) $ 在 $ B $ 但不在 $ A $ 因為它不是納什均衡。唯一的納什均衡是 $ (00,00) $ .