觀察公共和私人信號後狀態的條件期望
我正在閱讀Morris 和 Shin（2002）的《公共資訊的社會價值》，我有一個關於在觀察公共和私人信號後計算條件期望的問題。
在他們的模型中，國家 $ \theta $ 是從一個不正確的製服先於實線和代理中提取的 $ i $ 觀察公共信號$$ y=\theta+\eta $$在哪裡 $ \eta \sim N(0,\sigma_{\eta}^{2}) $ 和 $ \eta $ 獨立於 $ \theta $ . 此外，代理還將收到一個私人信號$$ x_{i}=\theta+\epsilon_{i} $$在哪裡 $ \epsilon_{i}\sim N(0,\sigma_{\epsilon}^{2}) $ .
將公共信號的精度表示為 $ \alpha $ 和私人信號作為 $ \beta $ . 尤其， $ \alpha=\frac{1}{\sigma_{\eta}^{2}} $ 和 $ \beta=\frac{1}{\sigma_{\epsilon}^{2}} $ .
他們聲稱，以觀察為條件 $ y $ 和 $ x_{i} $ ,$$ \mathbb E[\theta|y,x_{i}]=\frac{\alpha y+\beta x_{i}}{\alpha+\beta} $$.
我的問題是，我們如何推導出條件期望的上述表達式？
特別是，我的主要困難是理解不恰當的統一先驗意味著什麼。例如，如果 $ \theta $ 也是從正態分佈中得出的，那麼我們知道 $ \theta $ , $ x_{i} $ 和 $ y $ 是共同正態的，那麼我們可以使用多元正態分佈的條件分佈公式來推導出期望的條件期望。然而，由於 $ \theta $ 不正確地均勻分佈，我不知道如何推導上面的公式，如果有人能在這方面給我一些幫助，我將不勝感激。
提前致謝！
不正確的先驗意味著您正在使用之前的“度量”而不是之前的“機率度量”。對於實線上的（不正確的）均勻先驗，您只需採用密度 $ f(\theta) $ 始終等於 $ 1 $ 超過 $ \mathbb{R} $ （即勒貝格測度的密度）。只要所有後驗密度都是明確定義的機率密度（即積分為 1），您就可以這樣做。另見維基百科。
如果我們讓 $ \phi $ 表示標準法線的密度，我們有信號 pdfs$$ \phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right) \quad \text{and} \quad \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right). $$ 如果我們應用貝氏規則，後驗密度 $$ f(\theta|y,x_i)=\frac{1\cdot\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right)\cdot \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right)}{\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right)\cdot \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right)~d\theta} $$ 是一個定義明確的機率密度，因為兩個正態 pdf 的乘積又是一個正態 pdf（因此分子積分為 1）。特別是，對於我們的均值 $$ \int_{-\infty}^{\infty} \theta\cdot\phi\left(\frac{y-\theta}{\sigma_\eta}\right)\cdot \phi\left(\frac{x_i-\theta}{\sigma_\epsilon}\right)~d\theta=\frac{\alpha y+\beta x_i}{\alpha+\beta}. $$ 請參閱此處以獲取參考，但我想您可以嘗試自己驗證這一點。我想使用統一的先驗和正常信號的目的是獲得這個非常方便的公式。