合理化策略定義中的凸包運算元
在Fudenberg 和 Tirole 的博弈論中，他們以下列方式定義了一組合理化策略。
FT 中的定義 2.3：集合 $ \tilde{\Sigma}{i}^{0}=\Sigma{i} $ 在哪裡 $ \Sigma_{i} $ 是玩家混合策略的空間 $ i $ . 對於每個 $ i $ , 遞歸定義$$ \tilde{\Sigma}{i}^{n}={\sigma{i}\in \tilde{\Sigma}{i}^{n-1}|\exists \sigma{-i} \in \times_{j\not=i} \text{convex hull} ,\left(\tilde{\Sigma}{j}^{n-1}\right) s.t ,,u{i}(\sigma_{i},\sigma_{-i})\geq u_{i}(\sigma_{i}’,\sigma_{-i}) ,,\forall \sigma_{i}’\in \tilde{\Sigma}{i}^{n-1}} $$ 玩家的合理化策略 $ i $ 是 $ R{i}=\cap_{n=0}^{\infty}\tilde{\Sigma}_{i}^{n} $
集合的凸包 $ X $ 是包含的最小凸集 $ X $
我的問題是，為什麼我們需要在定義中使用凸包運算符？
我認為 $ \tilde{\Sigma}_{i}^{n} $ 是在 $ n-1 $ 幾輪刪除永遠不是最佳響應的策略，我不知道為什麼我們在這裡需要凸性。
混合策略可能不是對任何混合策略的最佳響應，即使它支持的所有純策略都是對某些混合策略的最佳響應。以下是上述教科書中的一個例子：T和M都是對縱隊玩家的一些混合策略的最佳回應（這是由於被取消支配），但兩者都玩機率 $ 1/2 $ 給予一定的回報 $ -\frac{1}{2} $ ，所以最好玩B。
因此，重複刪除混合的非最佳回復會導致非凸集。現在，Fudenberg 和 Tirole 的論點是，如果列玩家不確定行玩家是玩T還是M，並分配機率 $ 1/2 $ 對於這兩種可能性，那麼就好像排玩家與上述占主導地位的混合策略進行對抗。這種混合可以用凸包來表示。
然而，如果有兩個以上的玩家，那麼同樣的論點可以用來論證，如果一個玩家不確定其他玩家的合理策略配置是什麼，那麼他們也應該允許凸組合。但這將使對其他參與者行為的信念不再隨機獨立，並且它們不再對應於混合策略配置文件。如果允許這種相關性，則相反會獲得相關合理性的解決方案概念，對於許多人（包括我在內）來說，這是一個更明智的概念。