邊界動作空間對平衡集的影響
認為 $ N $ 玩家玩遊戲，每個玩家的行動空間是 $ [0,1] $ .
每個玩家都有相同的連續效用函式 $ u:[0,1]\times [0,1]^{N-1}\rightarrow\mathbb{R} $ ，其中第一個參數是他們自己的動作，其他參數是其他玩家的動作， $ u $ 在其他玩家的重新排序下保持不變。
假設博弈有一個獨特的純對稱納什均衡，每個參與者都採取行動 $ a\in (0,1) $ .
現在假設遊戲規則改變了，玩家現在只能在區間內選擇動作 $ [b,1] $ ， 在哪裡 $ b\in (0,a) $ . 通過顯示的偏好，每個玩家採取行動 $ a $ 仍然是一個納什均衡（如果他們之前沒有盈利偏差，那麼他們現在沒有）。
有沒有可能（對於某些 $ u $ ，希望不會太奇怪！）每個玩家都採取行動 $ b $ 現在是一個額外的納什均衡，即使它以前不是？有沒有可能 $ b $ 平衡經受住了一些改進（例如顫抖的手），即 $ a $ 平衡不？
現在已經回答了這個問題，我將簡要說明我想到的特定情況。這 $ N $ 玩家是國家，選擇他們的公司稅率水平。 $ a $ 是在沒有國際協議的情況下（大多數）國家設定的中等公司稅水平。 $ b $ 是現在國際公認的新的最低水平。是否 $ u $ 答案看起來像國家在設定公司稅率時的回報是另一個問題！
讓 $ N=2 $ 並且對於 $ (x,y) $ 和 $ (p,q) $ 在 $ [0,1]^2 $ 讓 $ d_{p,q}(x,y) $ 是之間的歐幾里得距離 $ (p,q) $ 和 $ (x,y) $ ， IE $ d_{p,q}(x,y)=[(p-x)^2+(q-y)^2]^{1/2} $ .
選擇 $ k>0 $ 這樣 $ k<a-b $ 和 $ k<b $ .
現在定義 $$ u(p,q):=\max{ -d_{p,q}(a,a),-d_{p,q}(b,b),k-d_{p,q}(b,0),k-d_{p,q}(0,b) }. $$ 該函式作為連續函式的最大值是連續的。
建設使 $ u(p,q) $ 除了在 $ (a,a) $ 並且在 $ (b,b) $ ， 在哪兒 $ 0 $ ，並且在（小） $ k $ - 周圍的光碟 $ (b,0) $ 和 $ (0,b) $ , 達到最大值 $ k $ 在這些點上。
在不受限制的情況下， $ (a,a) $ 是一個對稱的純 NE，但是 $ (b,b) $ 不是，因為每個玩家都想單方面偏離遊戲 $ 0 $ . 在所有其他對稱策略配置文件中，玩家都希望單方面偏離 $ a $ , $ b $ ， 或者 $ 0 $ .
在受限情況下， $ (b,b) $ 也是一個純對稱的 NE，因為不再可能向下偏離。
這個例子可以直接推廣到 $ N\ge 3 $ 玩家。我在這裡沒有回答細化部分，但我認為這也可以以類似的方式建構。