一些純策略納什均衡的存在
我對Fudenberg 和 Tirole的博弈論中的定理 1.2有疑問。
FT(Debreu, Glicksberg, Fan) 中的定理 1.2****考慮一個策略形式的博弈，其策略空間 $ S_{i} $ 是歐幾里得空間的非空緊凸子集。如果支付函式 $ u_{i} $ 是連續的 $ s $ 和準凹入 $ s_{i} $ ，存在純策略納什均衡。
FT (Nash) 中的定理 1.1：每個有限策略形式的博弈都有一個混合策略均衡。
我的問題是，我們怎麼知道定理 1.2中的納什均衡是純策略的？
在證明中，他們也使用了角穀不動點定理，但我認為它只能給我們一些納什均衡的存在，我們對其表徵一無所知。此外，納什存在定理應該是定理 1.2 的一個特例，因為有限動作上的混合策略集是一個單純形，它是緊緻的。然而，在納什定理中，我們只知道存在混合策略均衡。
我對德布魯定理的理解是，這個定理中的“純策略”是關於策略空間的，而不是關於行動空間的。更具體地說，以上面的納什存在定理為例，該定理中的混合策略實際上是混合策略空間中的“純策略”，因此兩個定理並不矛盾。
我假設您知道如何使用 Kakutani 來證明有限博弈的存在。
作為標準，讓 $ X_{-i} = \times_{j \not = i} X_{j} $ .
定義最佳響應對應 $ BR_i: S_{-i} \rightrightarrows S_i $ 經過 $$ BR_i(s_{-i}) = \arg \max_{s_i \in S_i} u_i(s_i,s_{-i}) $$
除了通常存在和上半連續性之外， $ u_i $ 意味著對應是凸值的。
像往常一樣，將它們堆疊起來以定義對應關係 $ BR: S \rightrightarrows S $ .
應用角谷，所需的不動點是 $ s^* \in S $ ，因此是一種純粹的策略。
將此與有限博弈的證明進行比較，我們在空間上定義對應關係 $ \times_{i} \Delta (S_i) $ !