首次價格拍賣（預期收益）
我正在嘗試解決隨後的第一價格拍賣問題。
投標人的pdf是 $$ f(v_i)= \begin{cases} \dfrac{1}{8}v_i, & \text{if} & 0\leq v_i\leq4\ 0, & \text{if} & \text{otherwise}\ \end{cases} $$
投標人只知道自己的價值觀。如果拍賣失敗並且（ $ v_i-b_i $ ) 如果贏得拍賣遊戲。
問題詢問對稱投標人在貝氏納什均衡下的投標以及投標人和賣方的預期收益。
因此，一個投標人將最大化如下：
$$ \max_{b_1},,(v_1-b_1)\Pr(b_1>b_2) $$
如果我們取關於的導數 $ b_1 $ 我們得到
$$ b(v_1)=\dfrac{\int v_1f(v_1),dv_1}{F(v_1)} $$
從問題知道 $ f(v_1)=\dfrac{1}{8}v_i $ 我們可以找到 $ F(v_1)=\dfrac{1}{16}v_i^2 $ . 如果我們替換它們，我們會得到
$$ b(v_1)=\dfrac{\int v_1\dfrac{1}{8}v_1,dv_1}{\dfrac{1}{16}v_1^2} = \dfrac{2}{3}v_1 $$
所以這是投標人 1 的投標。但是，我找不到投標人 1 和投標人 2 的預期收益。我的問題是如何使用 PDF 或 CDF 來找到投標人的預期收益。
讓我在這裡回答，把評論中的所有提示放在一起。
你已經發現一個類型的均衡出價 $ v $ 投標人是 $ b(v) = \frac{2}{3}v $ .
出價在嚴格增加 $ v $ , 所以投標人 $ i $ 隨時獲勝 $ b(v_i) \geq b(v_j) $ 或者 $ v_i \geq v_j $ .
一種類型的預期收益 $ v $ 投標人因此 $$ (v -b(v))P(b_1 \geq b_2) $$ 或者 $$ (v - \frac{2}{3}v)P(v \geq v_2) = \frac{1}{3}P(v \geq v_2) $$ 那麼這個機率是多少 $ v \geq v_2 $ ?
根據 CDF 的定義 $ P(x \leq v) = F(v) = \int_0^v f(x) dx $
所以 $ P(v_2 \leq v) = F(v) $ .
因此，對一種類型的預期效用 $ v $ 投標人是： $$ u(v) = \frac{v}{3} F(v) $$