博弈論：均衡利潤的連續性？
考慮 2 個代理 $ A_i $ . $ A1 $ 在代理之前移動 $ A2 $ . 他們的每個效用函式在每個代理人的決策中都是連續的 $ 0<s_i\in \mathbb{R} $ 和一個參數 $ x $ . 此外，每個智能體的效用函式在其自己的決策中具有唯一的內部最大值 $ s_i $ .
代理具有字典優先權（主要需要以便其他代理可以預測策略）： $ A_1 $ 最大化自己的效用，如果兩個或更多策略最大化自己的策略，它會在這些策略中選擇最適合的策略 $ A_2 $ . $ A_2 $ 最大化它自己的效用，如果兩個或多個策略最大化它自己的策略，它會在這些策略中選擇最適合的一個 $ A_1 $ .
聲明一：本遊戲至少有一個SPNE，但一般有多個。在多個 SPNE 的情況下，它們將具有相同的效用配置文件，也就是說，為每個代理提供相同的效用。
陳述二：代理的效用配置文件在 $ x $ （記住，他們的每一個效用都是連續的 $ x $ .) 我對陳述二的推理是 x 的增量變化意味著 ne NE 將非常接近於 NE 變化之前的 NE 之一 $ x $ . 由於這些 NE 具有相同的實用程序配置文件，因此 $ x $ 只會對實用程序配置文件產生增量影響。
你是否同意這兩個陳述，你是否有更可靠的論據（尤其是第二個）。
讓我首先嘗試回答陳述 2：
代理的效用配置文件在 x 中是連續的
讓我們試著充實這個問題。讓 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 是緊湊的、凸的、玩家的策略集（比如 $ \mathbb{R}^n $ ）（為簡單起見）。讓 $ u_1(s_1, s_2, x) $ 和 $ u_2(s_1, s_2,x) $ 是兩個參與者的連續效用函式。
讓我們解決SPNE。在第 2 階段，參與者 2 在給定行動的情況下最大化她的效用 $ s_1 $ 玩家 1. 這給出： $$ v_2(s_1, x) = \max_{s_2 \in S_2} u_2(s_1, s_2, x)\ s_2(s_1, x) = \arg\max_{s_2 \in S_2} u_2(s_1, s_2, x). $$
- 由於最大值定理，該問題得到了很好的定義。
- 功能 $ v_2(s_1, x) $ 是連續的（Berge 最大化定理）。
- 最好的回應 $ s_2(s_1, x) $ 只保證是一個上半連續的非空對應。
- 如果 $ s_2(s_1, x) $ 是單值的，那麼它是連續的。然而，單值性將取決於函式形式 $ u_2(s_1, s_2, x) $ （例如嚴格的準凹度），因此到目前為止的假設並不成立。
讓 $ \tilde s_2(s_1, x) $ 成為一個選擇 $ s_2(s_1, x) $ . 在階段 1，玩家 1 的優化問題是： $$ v_1^\ast(x) = \max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x).\ s_1^\ast(x) = \arg\max_{s_1 \in S_1} u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), x). $$
- 如果選擇 $ \tilde s_2(s_1, x) $ 玩家 2 的最佳選擇是 $ s_2(s_1, x) $ 對於玩家 1，目標函式似乎是上半連續的（但通常不是連續的）。由於目標函式的上半連續性，最大化問題得到了很好的定義。
- 雖然 $ v_1^\ast $ 將（我認為）上半連續，不一定是連續的。無論如何，最好的回應對應 $ s_1^\ast(x) $ 不需要是連續的。
- 如果 $ s_2(s_1, x) $ 是單值的，那麼它是連續的，這意味著 $ v_1^\ast(x) $ 也是連續的。如果，另外 $ s_1^\ast(x) $ 也是單值的，那麼它也將是連續的。
讓 $ \tilde s_1(x) $ 從最佳響應中選擇 $ s_1^\ast(x) $ 來自玩家 1。那麼，我們可以定義： $$ v_2^\ast(x) = v_2(\tilde s_1(x), x),\ s_2^\ast(x) = \tilde s_2(\tilde s_1(x), x). $$
- 一般來說，既不 $ v_2^\ast(x) $ 也不 $ s_2^\ast(x) $ 需要連續。
- 如果兩者 $ s_1^\ast(x) $ 和 $ s_2(s_1, x) $ 是單值的，那麼 $ v_2^\ast(x) $ 和 $ s_2^\ast(x) $ 兩者都是連續的。
因此，如果兩者都成立，則陳述 2 似乎成立 $ s_2(s_1, x) $ 和 $ s_1^\ast(x) $ 是單值的。
- 單值 $ s_2(s_1, x) $ 如果（例如）成立 $ u_2(s_1, s_2, x) $ 是嚴格準凹的 $ s_2 $
- 反過來，單值性 $ s_1^\ast(x) $ 持有如果 $ u_1(s_1, \tilde s_2(s_1, x), s_1) $ 是嚴格準凹的 $ s_1 $ . 請注意，嚴格的擬凹 $ u_1(s_1, s_2(s_1, x), x) $ 是一個強有力的假設，因為它對最佳響應施加了形狀限制 $ s_2(s_1, x) $ （不僅在功能上 $ u_1 $ 本身）。
我希望這能回答聲明 2。
對於聲明 1：
這個遊戲至少有一個 SPNE，但通常是多個。在多個 SPNE 的情況下，它們將具有相同的效用配置文件，也就是說，為每個代理提供相同的效用。
- 如上所示，SPNE 的存在可以僅使用 $ u_1 $ 和 $ u_2 $ 和策略集的緊湊性，並假設 $ \tilde s_2(s_1, x) $ 為玩家 1 選擇最佳選項。
- 不同的 SPNE 通常不會提供相同的效用。假設在階段 2，參與者 2 在多個最優策略之間無差異，所以 $ s_2(s_1, x) $ 是多值的（例如，假設 $ u_2(s_1, s_2, x) $ 是常數函式，所以玩家 2 在 $ S_2 $ ）。如果選擇不同 $ \tilde s_2(s_1, x) $ 從 $ s_2(s_1, x) $ , 為玩家 1 提供不同的實用程序，那麼有可能 $ v_1^\ast $ 根據遊戲第 2 階段中玩家 2 的選擇，取不同的值。所以不同的 SPNE 可能會提供不同的效用。