如何分析這種二人、資訊不完全、形式廣泛的博弈？
博弈樹：
請注意，玩家 1 的資訊集由紅色虛線表示，而玩家 2 的資訊集由藍色陰影帶錶示。
用文字描述，遊戲涉及以下一系列步驟：
- 玩家 1 選擇要麼傷害玩家 2 成為強類型的機會，要麼什麼都不做。如果玩家 1 決定受傷，那麼他花費1美元來換取玩家 2 從 $ 2/3 $ 到 $ 1/3 $ . 玩家 2 不知道玩家 1 是選擇傷害還是什麼都不做。
- 遊戲以適當的機率隨機決定玩家 2 是強型還是弱型。如果玩家 1 在步驟 1 中決定傷害，那麼玩家 2 是強類型的機率 $ 1/3 $ . 否則，玩家 2 是有機率的強類型 $ 2/3 $ . 玩家 1 不知道玩家 2 的類型，而玩家 2 知道自己的類型。
- 玩家 2 選擇留在遊戲中或提前退出遊戲。如果他決定退出，那麼如果他是強型，他會自由走開，但如果他是弱型，他必須花費1美元退出。如果他決定留下來，那麼遊戲進行到步驟 4。
- 玩家 1 選擇戰鬥或逃跑。如果玩家 1 逃跑，那麼玩家 2 無論類型如何都會自由走開。如果玩家 1 決定戰鬥，那麼結果取決於玩家 2 的類型。如果玩家 2 是強類型，那麼玩家 1 輸掉戰鬥，必須向玩家 2 支付3美元。如果玩家 2 是弱類型，然後玩家 1 贏得了比賽，他可以從玩家 2 那裡獲得 3美元的付款。
- 在任何情況下，玩家 1 的最終收益都考慮了他是否在步驟 1 中花費了1美元來傷害。
問題：
這是一個相當複雜的遊戲。我什至不知道如何開始解決它。我應該如何分析這樣的遊戲？
不能保證隨機遊戲可以通過簡單的技巧來解決。（例如，參見庫恩撲克。）
你在課堂上學過這樣的東西嗎？如果有，老師有沒有循序漸進的方法？也許這些台階沒有被指定為台階，但如果你回顧它，你可能會意識到它們是什麼？如果是，您可能應該遵循該邏輯。
否則你應該
- 嘗試消除嚴格支配的策略以使遊戲更簡單（迭代）。
- 分配機率變數 ( $ p_1,p_2,\dots $ ) 到非消除策略。
- 尋找在支持集中具有所有剩餘策略的混合均衡（考慮到他們的條件信念，玩家應該對選擇這些策略無動於衷）。
- 如果您有時間並且可以嘗試，請尋找具有較小支持集的混合平衡。
差不多就是這樣。
編輯：
相對於預期收益，“花費傷害”對於玩家 1 來說非常昂貴。因此，除非我在某處計算錯誤，否則解決方案實際上並沒有那麼複雜。
$ P_2 $ : 強型要一直留，這是她的弱佔優策略。（不是永遠停留的嚴格證明。）
$ P_1 $ ：跟隨“什麼都不做”不應該打，因為 $ P $ （類型=強 $ | $ 停留） $ \geq 2/3 $ 這意味著戰鬥失去3比獲得3更頻繁。（最多可以贏 $ 1/3 $ 的時間。）
$ P_1 $ 繼“花錢傷害”之後的動作， $ P_1 $ 的初始動作和 $ P_2 $ 的弱式動作還有待確定。
現在假設 $ P_2 $ 的弱類型動作是Stay。然後跟隨“花費傷害” $ P_1 $ 戰鬥比跑步好（ $ 0 > - 1 $ ）。在這種情況下，“花錢去傷害”和“什麼都不做”一樣好（ $ 0 = 0 $ ).
$ P_2 $ 的弱類型動作 Stay 是最優的當且 $$ \frac{P(\text{Spend to hurt}) \cdot 2/3}{P(\text{Spend to hurt}) \cdot 2/3 + P(\text{Do nothing}) \cdot 1/3} \cdot (-3) + \frac{P(\text{Do nothing}) \cdot 1/3}{P(\text{Spend to hurt}) \cdot 2/3 + P(\text{Do nothing}) \cdot 1/3} \cdot 0 $$ 大於或等於 $ -1 $ . 這是真的，當 $ P $ （花錢傷害） $ \leq 1/5 $ .
是否存在其他均衡？任何其他弱類型動作 $ P_2 $ 選擇減少 $ P_1 $ 在“花費傷害”之後，使其小於 0。這使得“什麼都不做”和隨之而來的“跑步”成為更好的選擇。然而，這將激勵 $ P_2 $ 總是逗留，產生矛盾。