如何在信號遊戲中證明 WPBE 是 SE？
信號遊戲的定義：
信號博弈是具有以下結構的廣泛博弈：
(i) 偶然的舉動首先決定了世界/類型的狀態 $ t ∈ T $ , 它是根據機率分佈從 T 中得出的 $ π ∈ ∆T $ ,
(ii) 第一個玩家，稱為發送者（玩家 s），觀察真實狀態/他的類型 $ t ∈ T $ , 並選擇一個信號/消息 $ m ∈ M $ 發送給第二個玩家，稱為接收者（玩家 r），
(iii) 接收者觀察到發送者的消息 m（而不是發送者的類型 t），並選擇一個動作 $ a ∈ A $ ,
(iv) 玩家的收益由函式給出 $ u_i: T × M × A → R $ ， 在哪裡 $ i ∈ {s, r} $ .
我需要證明：
如果集 $ T $ , $ M $ ， 和 $ A $ 是有限的，然後是評估 $ <\beta_s, \beta_r, \mu> $ 當且僅當它是 SE 時，它才是 WPBE。
SE 必須是 WPBE，這是微不足道的。但我正在努力證明 WPBE 在這場比賽中是 SE。
我想定義一個嚴格混合的策略序列和相應的信念系統來證明當接收者的資訊集無法到達時，信念仍然是一致的。但我被困在這裡。
誰能給我一些關於如何證明這一點的提示？以及如何定義這樣的序列？
**聲明：*如果選擇集 $ T, M, $ 和 $ A $ 是有限的，然後是評估 $ {\beta^_{r}, \beta^_{s}, \mu^} $ 是接收器之間的兩階段信號博弈的WPBE （弱完美貝氏均衡） $ r $ 和發件人 $ s $ 當且僅當它是一個SE（順序平衡）。
證明： SE $ \implies $ WPBE 是微不足道的，因為 SE 在構造上是 PBE，因此也是 WPBE。
證明 WPBE 也是有限選擇集信號博弈的 SE $ T, M, $ 和 $ A $ ，我們必須證明存在一個元組 $ (\beta^n_r, \beta^n_s, \mu^n) $ 這樣 $ {\beta^_{r}, \beta^{s}, \mu^*} = \lim\limits{n \to \infty} (\beta^n_r, \beta^n_s, \mu^n) $ 對於一些完全混合的策略 $ \beta^n $ 這樣，對於所有人 $ n $ ,
$$ \begin{align} \mu^n(t|m) = \frac{\pi(t)\beta^n_s(m|t)}{\sum_{t’ \in T}\pi(t’)\beta^n_s(m|t’)} &&\text{whenever} \sum_{t’ \in T} \pi(t’)\beta^n_{s}(m|t’) > 0 \end{align} $$
因為這是玩家之間的兩人遊戲 $ r $ 和 $ s $ . 條件為 $ \mu^n $ 以上被稱為弱（貝氏）一致性。
為了建構這樣一個完全混合的策略配置文件， $ \beta^n $ ，首先考慮以下玩家的消息發送策略配置文件 $ s $ 作為一個函式 $ n $ 以世界狀況為條件 $ t $ :
$$ \beta^n_{s}(m|t) = \small{ \begin{cases} \frac{n-1}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right) \beta^_s(m|t) && \text{if } \beta^s(m|t) > 0 \text{ and } \sum{t’ \in T} \pi(t’)\beta^_{s}(m|t’) > 0 \ \frac{n-1}{n} \left(\frac{1}{n \mathcal{N_s}(t)}\right) && \text{if } \beta^s(m|t) = 0 \text{ and } \sum{t’ \in T} \pi(t’)\beta^_{s}(m|t’) > 0 \ \frac{n-1}{n} \left(\frac{\pi(m) \mu^(t|m)}{n\pi(t)} \right) && \text{if } \mu^(t|m) > 0 \text{ and } \sum_{t’ \in T} \pi(t’)\beta^{s}(m|t’) = 0 \ \frac{1}{n} \left[1 - \sum\limits{m’ \in M} \left(\frac{n-1}{n} \frac{\pi(m’) \mu^*(t|m’)}{\pi(t)}\right) \right]&& \text{otherwise} \end{cases} } $$
其中，借用Fudenberg 和 Tirole (1991)的符號，
$$ \mathcal{N_s}(t) \equiv #{m \in M\ |\ \beta^s(m|t) = 0 \text{ and } \sum{t’ \in T} \pi(t’)\beta^_{s}(m|t’) > 0 }. $$
的有限性 $ M $ 在這裡呼叫是為了提供一個明確定義的域 $ #{\cdot} $ . 這四種情況跨越了參數空間 $ \beta_s^* $ 和 $ \mu^* $ 在這場比賽中。因此 $ \sum_{m \in M} \beta^n_{s}(m|t) = 1 $ 和 $ \beta^n_{s}(m|t) > 0 $ 對全部 $ n $ 並為所有人 $ m \in M $ , 確立 $ \beta^n_s $ 是一個完全混合的玩家策略配置文件 $ s $ . 通過構造的漸近行為 $ \beta^n_{s}(m|t) $ , 很容易驗證 $ \beta^n_{s} \to \beta^*_s $ 作為 $ n \to \infty $ .
玩家的剩餘策略配置文件 $ r $ , $ \beta_r^n(a|m) $ , 可以通過僅在參數空間中分配機率來簡單地構造 $ \beta^_r $ 自從相信 $ \mu^ $ 由 $ \beta^*_s $ :
$$ \beta^n_r(a|m) = \begin{cases} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\beta^_r(a|m) && \text{if } \beta^_r(a|m) > 0 \ \frac{1}{n\mathcal{N_r}(m)} && \text{if } \beta^_r(a|m) = 0, \end{cases} $$ 在哪裡 $ \mathcal{N_r}(m) \equiv #{a \in A\ |\ \beta^_r(a|m) = 0} $ . 清楚地 $ \beta^n_r \to \beta^*_r $ 作為 $ n \to \infty $ .
最後，通過建構 $ \beta^n_s(m|t) $ ，很容易驗證序列 $$ \begin{gather} \mu^n(t|m) = \frac{\pi(t)\beta^n_s(m|t)}{\sum_{t’ \in T}\pi(t’)\beta^n_s(m|t’)} \to \mu^*(t|m) \text{ as } n \to \infty \end{gather} $$
從而證明了一致性。因此，WPBE 也是該遊戲的 SE。 $ \ \blacksquare $