如果參與者是對稱的並且核心是非空的，那麼X一世=v(N)/nX一世=在(ñ)/nx_i = v(N)/n對全部一世一世i是核心元素
考慮一個TU遊戲 $ \langle N,v \rangle $ 和 $ N = {1,2,\ldots,n} $ 是一組玩家和 $ v : 2^N \to \mathbb R $ , $ v(\emptyset) = 0 $ 特徵函式。的核心 $ v $ 由未支配分配定義 $ x \in \mathbb R^n $ $$ \begin{align} \mathcal C(v) = \left{x \in \mathbb R^n ~ \bigg| ~ \sum_{i \in S}{x_i} \geq v(S) ~ \forall S \subseteq N\right}. \end{align} $$ 讓 $ m_i(S) = v(S \cup {i}) - v(S) $ 表示邊際貢獻 $ i $ 結盟 $ S $ . 我們說參與者是對稱的，如果 $ m_i(S) = m_j(S) $ 對全部 $ i,j \in N $ 和 $ S \subset N $ . 因此，任何代理人對任何联盟的邊際貢獻都是相同的。
我想知道以下命題是否正確以及如何正式證明它。
**命題：**如果玩家是對稱的並且核心是非空的 $ \mathcal C(v) \neq \emptyset $ ，那麼大聯盟的價值均分是核心的一個要素 $ (v(N)/n,\ldots,v(N)/n) \in \mathcal C(v) $ .
中心分配 $ z_{i}:=(v(N)/|N|) $ 對全部 $ i \in N $ 是對稱博弈的核心 $ v $ , 每當 $ z(S) = \sum_{i \in S} z_{i} \ge v(S) $ 適用於所有人 $ S \subseteq N $ . 現在，如果 $ v(N)/|N| \ge v(S)/|S| $ 對全部 $ S \subseteq N $ ，那麼它成立 $ z(S) = \sum_{i \in S} z_{i} = |S|\cdot v(N)/|N| \ge v(S) $ . 因此， $ \mathbf{z} \in C(v) $ .
我們觀察到對於對稱博弈 $ v $ ，如果核心是非空的 $ v(N)/|N| \ge v(S)/S $ 適用於所有人 $ S \subseteq N $ . 否則，核心為空。