完整資訊的資訊結構
模型
決策者 (DM) 必須選擇行動 $ y\in \mathcal{Y} $ 可能沒有完全了解世界的狀況。 $ \mathcal{Y} $ 是一個有限集。
世界的狀態是一個隨機變數 $ V $ 有支持 $ \mathcal{V} $ . $ \mathcal{V} $ 不是有限集。例如， $ \mathcal{V}=[a,b] $ 或者 $ \mathcal{V}=\mathbb{R} $ .
當 DM 選擇行動時 $ y\in \mathcal{Y} $ 世界的狀態是 $ v\in \mathcal{V} $ ，她收到了回報 $ u(y,v) $ .
讓 $ P_V\in \Delta(\mathcal{V}) $ 成為 DM 對世界狀況的先驗 $ V $ （機率密度函式）。
DM 也處理一些信號 $ T $ 有支持 $ \mathcal{T} $ 和分佈 $ P_{T|V} $ 有條件的 $ V $ 完善他的先驗並獲得後驗 $ V $ ，表示為 $ P_{V|T} $ ，通過貝氏規則。
讓 $ S\equiv {\mathcal{T}, P_{T|V}} $ 稱為“資訊結構”。
DM 的策略是 $ P_{Y|T} $ . 這種策略是最優的，如果它最大化他的期望收益，其中期望是使用後驗計算的， $ P_{V|T} $ .
問題
我想代表向 DM 提供完整資訊（“完整資訊結構”）的資訊結構。什麼時候 $ \mathcal{V} $ 是有限的，這很容易：我們可以設置 $ \mathcal{T}=\mathcal{V} $ 和 $ P_{T|V}(t|v)=1 $ 如果 $ t=v $ 否則為 0。什麼時候 $ \mathcal{V} $ 不是有限的，但是，我正在努力尋找合適的機率密度函式。
注意 表示完整資訊結構的一種方法是設置 $ |\mathcal{V}|=1 $ . 這不是我正在尋找的方式。我不想“操縱” $ \mathcal{V} $ 以獲得所需的資訊結構。讓我們假設 $ \mathcal{V} $ 是固定的（例如， $ \mathcal{V}=\mathbb{R} $ ) 並找到一個密度 $ P_{T|V} $ 向 DM 提供完整資訊。
功能基本一樣， $ P(t|v)=1 $ 如果 $ t=v $ 否則為零。
讓 $ V $ 成為一個狀態空間。一個資訊結構，如果一個地圖 $ q:V\to \Delta(T) $ . $ P $ 和 $ q $ 引起分佈 $ V\times T $ ， 叫它 $ Q $ . $ P_{V|T} $ 是貝氏更新 $ Q $ 上 $ T $ . 這就是我通常看到這些類型的資訊結建構模的方式。但我希望你能看到它和你介紹它的方式是等價的。
完整的資訊結構將定義如下： $ \tau:V\to T $ 是一個單射函式。讓 $ t_v=\tau(v) $ ， 所以 $ v\neq v’ $ 然後 $ t_v\neq t_{v’} $ . 讓 $ q(v)=\delta_{t_v}(\cdot) $ 在哪裡 $ \delta_t $ 是狄拉克測度 $ t $
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_measure
$ \delta_t(t’)=1 $ 如果 $ t=t’ $ 否則為零，即 $ \delta_t(\cdot) $ 把它所有的質量放在 $ t $ .
有了這個 $ q $ , $ P_{V|T}(v|t)=1 $ 如果 $ v=t_v $ 否則為零。
它與之前的概念相同（1） $ T $ 是對國家的重新標記 $ V $ ， 所以 $ t_v $ 對應於 $ v $ . (2) 有 $ q $ 只需將所有權重放在重新標記的狀態上即可宣布狀態， $ q(v)(t_v)=1 $ .