納什均衡——紙質證明錯誤？
我對Besley 和 Ghatak (2007)論文附錄 A 中的命題 1 的證明有疑問。這是一篇被引用率很高的論文，但我認為他們的命題 1 的證明存在錯誤。該模型在他們論文的第 2 節中進行了描述。這是一個非常簡單的模型，旨在推導出市場的納什均衡。特別是，他們表明 $ \theta_c^* $ 必須滿足 $ f’(n \theta_c^*) = \alpha $ 處於平衡狀態。在附錄的證明中，他們指出：
但是，我認為有一個錯誤，因為包 $ (p’, \widehat{\theta’}) $ 嚴格來說，並不能使每個有愛心的消費者過得更好。
新包裝 $ (p’, \widehat{\theta’}) $ 提供效用：
$$ b-p’+f(\widehat{\theta’} + (n-1)\widehat{\theta}) $$
舊包 $ (p, \widehat{\theta}) $ 提供效用：
$$ b-p+f(n\widehat{\theta}) $$
新包嚴格優先於舊包iff
$$ b-p’+f(\widehat{\theta’} + (n-1)\widehat{\theta}) > b-p+f(n\widehat{\theta}) $$
$$ f(n\widehat{\theta} + \Delta \widehat{\theta}) - f(n\widehat{\theta}) > \Delta p $$
如果我們按照論文中的說明進行替換： $ \Delta p = f’(n\widehat{\theta}) \Delta \widehat{\theta} $ 並假設我們想要一個積極的 $ \Delta \widehat{\theta} $ , 那麼上面就變成了：
$$ \frac{f(n\widehat{\theta} + \Delta \widehat{\theta}) - f(n\widehat{\theta})}{\Delta \widehat{\theta}} > f’(n \widehat{\theta}) $$
如果我們選擇一個否定的 $ \Delta \widehat{\theta} $ ，則上述條件變為
$$ \frac{f(n\widehat{\theta} + \Delta \widehat{\theta}) - f(n\widehat{\theta})}{\Delta \widehat{\theta}} < f’(n \widehat{\theta}) $$
但 $ f $ 是一個遞增且嚴格凹函式，所以上述不等式總是錯誤的。所以新包永遠不會比舊包更受歡迎。除了這一步之外，證明中的其他一切都很好，這是證明中最關鍵的一步，因為它描述了什麼 $ \widehat{\theta} $ 應該是平衡的，如果這是錯誤的，那麼論文中的許多其他結果也是錯誤的。
那麼，論文證明的這部分是否有錯誤？如果是這樣，有沒有辦法糾正它以使結果仍然成立？
目的是表明，只要 $ f’(n\hat\theta)\ne \alpha $ , 公司總是可以設計一個包 $ (p’,\hat\theta’)=(p+\Delta p,\hat\theta+\Delta \hat{\theta}) $ 這樣（i）一個有愛心的消費者非常喜歡這個包裝，並且（ii）公司獲得了正利潤。
1）你的數學是正確的：當 f 增加並且嚴格凹時，不等式總是錯誤的。在那種情況下，論文中的證據就不清楚了。包裹 $ (p’,\hat\theta’)=(p+f’(n\hat\theta)\Delta \hat{\theta},\hat\theta+\Delta \hat{\theta}) $ 不滿足 (i)。
- 你可以用下面的推理來證明這個命題。認為 $ f’(n\hat\theta)>\alpha $ . 採取任何 $ h $ 區間內 $ (\alpha,f’(n\hat\theta)) $ . 為了 $ \Delta \hat{\theta} $ 足夠小而積極，一家提供一攬子服務的公司 $ (p’,\hat\theta’)=(p+h\Delta \hat{\theta},\hat\theta+\Delta \hat{\theta}) $ 滿足 (i) 和 (ii)。通過一階近似，我們顯示 (i)：$$ b-p’+f(\hat\theta’+(n-1)\hat\theta)>b-p+f(n \hat\theta), $$ (ii)： $$ \Delta p - \alpha \Delta \theta>0. $$
認為 $ f’(n\hat\theta)<\alpha $ , 並取 $ h $ 區間內 $ (f’(n\hat\theta),\alpha) $ . 為了 $ \Delta \hat{\theta} $ 足夠小和負面的，提供一攬子服務的公司 $ (p’,\hat\theta’)=(p+h\Delta \hat{\theta},\hat\theta+\Delta \hat{\theta}) $ 滿足 (i) 和 (ii)。