具有不同邊際成本的 Bertrand 博弈的納什均衡
考慮以下 Bertrand 博弈（價格競爭）：
- 有兩個玩家， $ 1 $ 和 $ 2 $ . 每個人都有一個眾所周知的邊際成本， $ c_i $ .
- 策略就是價格， $ p_i\in\mathbb{R} $ .
- 播放器 $ i $ 的收益（利潤）為 $ \pi(p_i,p_j)=p_i-c_i $ 如果 $ p_i<p_j $ , $ \pi(p_i,p_j)=\frac{p_i-c}{2} $ 如果 $ p_i=p_j $ 和 $ \pi(p_i,p_j)=0 $ 如果 $ p_i>p_j $ .
如果 $ c_i=c_j=c $ 結果是直接的 Bertrand Nash 均衡：兩家公司都設置 $ p_i=c $ 並獲得零利潤。更高的價格導致零需求/利潤；較低的價格導致負利潤。因此沒有盈利偏差。
現在假設 $ c_1<c_2 $ . 什麼是納什均衡？
我以前對這樣的直覺感到滿意，即公司 1 以“略低於”的價格佔領整個市場 $ c_2 $ ? 但查看技術細節讓我產生了疑問：
- 我們無法平衡 $ p_1=c_2 $ . 最好的回應 $ 2 $ 將會 $ p_2=c_2 $ ， 但是之後 $ 1 $ 的利潤是 $ (p_1-c_2)/2 $ 和 $ 1 $ 可以盈利地偏離 $ p_1=c_2-\epsilon $ 對於一些小 $ \epsilon $ .
- 似乎我們無法平衡 $ p_1=c_2-\epsilon< c_2\leq p_2 $ 因為公司 1 可以做得更好 $ p_1=c_2-(\epsilon/2) $ .
我們是否得出結論，這場博弈的唯一均衡是混合策略？
是的，純策略中沒有均衡。對於上述公司 2 收取的任何價格 $ c_1 $ ，公司只能通過收取嚴格較小的最大價格來做出最佳反應。這是不可能的。如果兩家公司最多收費 $ c_1 $ ，其中一家公司必須虧損，這不是最好的反應。所以純策略中不存在納什均衡。
然而，混合策略中存在均衡。考慮一個均衡，其中企業 1 選擇的價格為 $ c_2 $ ，而公司二在區間內均勻隨機化 $ [c_2,c_2+\epsilon] $ 對於一些 $ \epsilon>0 $ . 為了 $ \epsilon<c_2-c_1 $ ，這是一個納什均衡，而且，它沒有使用弱支配策略。公司 1 正在獲利 $ c_2-c_1 $ 公司 2 的利潤為 $ 0 $ . 顯然，公司 2 沒有盈利偏差。看到那家公司 $ 1 $ 沒有盈利偏差，回想一下，如果純策略沒有盈利偏差（一個非常普遍的博弈論事實），混合策略中就不會有盈利偏差，並觀察該公司 $ 1 $ 不能從偏離嚴格低於的價格中獲利 $ c_2 $ 或略高於 $ c_2+\epsilon $ . 所以採取任何 $ \delta $ 令人滿意的 $ 0<\delta<\epsilon $ 並假設公司 1 收費 $ c_2+\delta $ （注意 $ \delta=0 $ 不會有偏差。）公司 2 收取較低價格的機率是 $ \delta/\epsilon $ ，所以公司 1 的預期利潤為
$$ (1-\delta/\epsilon)(c_2-c_1+\delta)+\delta/\epsilon~ 0. $$ 寫 $ K $ 為了 $ c_2-c_1 $ . 我們有一個有利可圖的偏差，如果 $$ (1-\delta/\epsilon)(K+\delta)>K, $$ 我們可以重新排列得到 $$ \delta(1-K/\epsilon-\delta/\epsilon)>0, $$ 這相當於 $$ K/\epsilon+\delta/\epsilon<1. $$如果 $ \epsilon< c_2-c_1=K $ , 這不可能是這樣的，所以我們得到一個納什均衡，如果 $ \epsilon>c_2-c_1 $ . 人們實際上可以使用相同的結構來建構公司 1 收費低於 $ c_2 $ ，但在由此產生的均衡中，企業 2 必須採取弱支配策略。
此答案中的結構取自以下簡短論文：
布魯姆，安德烈亞斯。“沒有軟糖的伯特蘭。” 經濟學快報78.2 (2003): 167-168。