帕累托最優性和外部性
讓我們考慮 5 個農民，他們每個人有 2 頭奶牛要放到地裡。所以每個農民可以放 0,1 或 2 頭奶牛。我將這三種狀態表示為 $ q_i $ , i = 0,1,2。現在，收益（即每頭奶牛將吃的食物量）由下式給出：
$$ u_{i}(q_1,…,q_5)=q_{i}(12-(q_{1}+…+q_{5})) $$ 現在，為了找到納什均衡，我繪製了一個矩陣，該矩陣在第一行有一個玩家，在其他四個玩家的列上。我觀察到策略 2 嚴格控制 1，因此 NE 由 (2,2,2,2,2) 給出，相應的收益為 (4,4,4,4,4)。（如果我將策略推廣到 $ q_{i}\in[0,2] $ NE保持不變，對嗎？） 現在，帕累托最優，如果我理解得很好，應該是策略（1,1,1,1,1），它給我帶來回報（7,7,7,7,7）。還有其他的帕累托最優配置文件嗎？因為我認為我已經理解了 2 名球員的問題，但對於更多球員我並不完全確定。
然後，最後一個問題：）如果我對（c）將兩頭牛放在田間的農民徵稅，我應該徵稅多少才能強制實施 NE？為了回答這個問題，我在這個意義上認為：對於策略，我的收益函式由下式給出
$$ u_{i}(q_1,…,q_5)=q_{i}(12-(q_{1}+…+q_{5})-c) $$ 因此，如果我查看收益矩陣以嚴格控制策略 2，我應該強制 c=1。
帕累托最優背後的思想是效率。在離散集上，與 $ (1,1,1,1,1) $ ，我們可以讓某人過得更好，至少讓其他人無動於衷。這就是為什麼這種分配是帕累托最優的。然而，任何其他有效的分配（在我們沒有丟棄資源的意義上）在這裡也將是帕累托最優的。
對於設置在 $ \mathcal R $ , 我們假設一個對稱解並求解
$$ \max_{q\in[0,2]} 5\cdot q(12-(5q)) $$ $$ \Rightarrow 5(12-5q) -25q $$ 第一項是增加的直接好處 $ q $ ，第二個是外部性（我們現在將其內化）。內部解由下式給出 $ q = 1.2 $ 每個人都得到回報的地方 $ 7.2 $ . 我們知道內部解決方案解決了問題，因為邊界 $ 0, 2 $ 兩者的價值都低於 $ q=1 $ .
最後，對於稅收，在給定一般稅收的情況下推導出代理人的 FOC $ c $ . 然後，尋找您希望它們擁有的最佳數量，即替換 $ q_i $ 和 $ q_i^* $ ，福利最大化解，然後尋找 $ c $ 這將解決 FOC（從而使農民最佳地選擇您想要的東西）。
我的理解是，我們這裡不回答作業問題。（我可能是錯的。）但是你確實提出了一些想法，我會給你回饋：
1）如果您擴展策略空間，不保證NE將保持不變。考慮到您懷疑是 NE 的策略配置文件，您必須通過尋找收益函式的 arg max 來再次檢查。
2）在博弈論的背景下，帕累托最優意味著沒有其他的博弈結果，即某人的境況更好，沒有人的境況更差。通常高度不對稱的收益是帕累托最優的，因為有人很高興，所以你應該檢查一些不對稱策略。
- NE實際上不需要強制執行。這是玩家無論如何都會玩的。我的猜測是您的問題是：您需要對奶牛放置徵稅多少才能強制執行帕累托最優結果作為徵稅博弈的 NE？
希望這些能幫助你解決問題。